Question

Y'' +2y'-8y=0экзамен по математике, помогите пожалуйста))​

Answer 1

Ответ:

замена:

$y = {e}^{kx}$

${k}^{2} + 2k - 8 = 0 \\ d = 4 + 32 = 36 \\ k1 = \frac{ - 2 + 6}{2} = 2 \\ k2 = - 4 \\ y = C1 {e}^{2x} + C2 {e}^{ - 4x}$

общее решение

Answer 2

Конечно, помогу вам решить данное дифференциальное уравнение второго порядка:

$$y'' + 2y' - 8y = 0$$

Чтобы решить это уравнение, предположим, что решение имеет вид $y = e^{rx}$, где $r$ - некоторая константа, которую мы должны найти. Тогда:

$$y'' = r^2e^{rx}$$

$$y' = re^{rx}$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$r^2e^{rx} + 2re^{rx} - 8e^{rx} = 0$$

Теперь давайте сделаем замену переменной $e^{rx}$ на $z$, чтобы уравнение стало более простым:

$$r^2z + 2rz - 8z = 0$$

Теперь мы можем вынести $z$ за скобку:

$$z(r^2 + 2r - 8) = 0$$

Это уравнение должно равняться нулю, поэтому у нас есть два варианта:

1. $z = 0$

2. $r^2 + 2r - 8 = 0$

Первый вариант ($z = 0$) даёт нам тривиальное решение $y = 0$, которое мы не будем рассматривать.

Теперь рассмотрим второй вариант ($r^2 + 2r - 8 = 0$). Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни квадратного уравнения:

$$r_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$

$$r_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$$

Теперь у нас есть два значения $r$: $r_1 = 2$ и $r_2 = -4$.

Теперь мы можем записать общее решение исходного дифференциального уравнения:

$$y(x) = c_1e^{2x} + c_2e^{-4x}$$

Где $c_1$ и $c_2$ - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если таковые даны.