Question

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй - 0,8; третий – 0,5. Найти вероятность того, что студентом будут сданы : а) только второй экзамен; только один экзамен; в)три экзамена; г) хотя бы один экзамен

Answer 1

Решение

а) Обозначим события: Ai – студент сдаст i-й экзамен (i = 1, 2, 3); 

 В – студент сдаст только 2-й экзамен из трех. 

Очевидно, что В = , т.е. совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены. Учитывая, что события A1, А2, А3 независимы, получим



б) Пусть событие С – студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только 2-й, или только 3-й, т.е.



в) Пусть событие D – студент сдаст все три экзамена, т.е. D = 
A1
A2
A3. Тогда



г) Пусть событие Е – студент сдаст по крайней мере два экзамена (иначе: «хотя бы два» экзамена или «не менее двух» экзаменов). Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, т.е.

   и



д) Пусть событие F – студент сдал хотя бы один экзамен (иначе: «не менее одного» экзамена). Очевидно, событие F представляет сумму событий С (включающего три варианта) и Е (четыре варианта), т.е. F = А1 + А2 + А3  = С + Е (семь вариантов). Однако проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант – F = , т.е. применить формулу (1.27).

Итак,



т.е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу вероятности совместных событий и формулу вероятности дополнения. Давайте посчитаем вероятность каждого из указанных случаев.

Только второй экзамен

Для того чтобы студент сдал только второй экзамен, он должен не сдать первый (вероятность 0.1), сдать второй (вероятность 0.8) и не сдать третий (вероятность 0.5). Мы можем использовать формулу перемножения вероятностей для независимых событий, чтобы найти общую вероятность этого случая: \[P(\text{только второй}) = P(\text{не первый}) \times P(\text{второй}) \times P(\text{не третий}) = 0.1 \times 0.8 \times 0.5 = 0.04\]

Только один экзамен

Для того чтобы студент сдал только один экзамен, есть несколько возможных вариантов: он сдал первый и не сдал второй и третий, не сдал первый и сдал второй, или сдал третий, но не первый и не второй. Мы можем сложить вероятности этих вариантов: \[P(\text{только один}) = P(\text{сдал 1, не сдал 2 и 3}) + P(\text{не сдал 1, сдал 2, не сдал 3}) + P(\text{не сдал 1 и 2, сдал 3})\] \[P(\text{только один}) = 0.9 \times 0.2 \times 0.5 + 0.1 \times 0.8 \times 0.5 + 0.9 \times 0.2 \times 0.5 = 0.09 + 0.04 + 0.09 = 0.22\]

Три экзамена

Вероятность того, что студент сдаст все три экзамена, равна произведению вероятностей сдачи каждого из них: \[P(\text{три экзамена}) = P(\text{сдал 1}) \times P(\text{сдал 2}) \times P(\text{сдал 3}) = 0.9 \times 0.8 \times 0.5 = 0.36\]

Хотя бы один экзамен

Это можно найти как дополнение к тому, что студент не сдал ни один экзамен: \[P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{не сдал ни одного}) = 1 - P(\text{не сдал 1}) \times P(\text{не сдал 2}) \times P(\text{не сдал 3})\] \[P(\text{хотя бы один}) = 1 - 0.1 \times 0.2 \times 0.5 = 1 - 0.01 = 0.99\]

Таким образом, вероятности составляют: а) Только второй экзамен: 0.04 б) Только один экзамен: 0.22 в) Три экзамена: 0.36 г) Хотя бы один экзамен: 0.99