Question

СРОЧНО Решить дифференциальное уравнение y' = (sin3x+2x)(y^2-4)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Уравнение имеет вид:

dy/dx = (sin(3x) + 2x)(y^2 - 4)

Давайте разделим переменные, переместив все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие x, на другую сторону:

dy / (y^2 - 4) = (sin(3x) + 2x) dx

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны этого уравнения. Сначала интегрируем левую сторону:

∫(1 / (y^2 - 4)) dy

Для интегрирования этой дроби мы можем воспользоваться методом частных дробей. Сначала разложим дробь на простые дроби:

1 / (y^2 - 4) = 1 / ((y + 2)(y - 2)) = A / (y + 2) + B / (y - 2)

Теперь найдем значения A и B:

1 = A(y - 2) + B(y + 2)

Подставляем y = 2:

1 = A(2 - 2) + B(2 + 2) 1 = 0 + 4B B = 1/4

Подставляем y = -2:

1 = A(-2 - 2) + B(-2 + 2) 1 = -4A + 0 -4A = 1 A = -1/4

Таким образом, мы получили разложение:

1 / (y^2 - 4) = (-1/4) / (y + 2) + (1/4) / (y - 2)

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны по отдельности:

∫(-1/4) / (y + 2) dy + ∫(1/4) / (y - 2) dy = ∫(sin(3x) + 2x) dx

(-1/4) * ln|y + 2| + (1/4) * ln|y - 2| = ∫(sin(3x) + 2x) dx

Теперь проинтегрируем правую сторону уравнения. Интеграл sin(3x) можно найти, применяя интегрирование по частям, а интеграл 2x можно найти обычным интегрированием:

∫(sin(3x) + 2x) dx = (-1/3) * cos(3x) + x^2 + C

где C - произвольная константа интеграции.

Теперь подставим это в наше уравнение:

(-1/4) * ln|y + 2| + (1/4) * ln|y - 2| = (-1/3) * cos(3x) + x^2 + C

Теперь мы можем упростить это уравнение и решить относительно y. Воспользуемся свойствами логарифмов:

ln|y - 2| - ln|y + 2| = (-3/4) * cos(3x) - (4/3) * x^2 - C

ln(|y - 2| / |y + 2|) = (-3/4) * cos(3x) - (4/3) * x^2 - C

Теперь возведем обе стороны уравнения в экспоненту:

|y - 2| / |y + 2| = e^((-3/4) * cos(3x) - (4/3) * x^2 - C)

Теперь у нас есть уравнение, в котором y находится в абсолютных значениях. Рассмотрим два случая:

1. Если y > 2: |y - 2| = y - 2 |y + 2| = y + 2

2. Если y < -2: |y - 2| = -(y - 2) = 2 - y |y + 2| = -(y + 2) = -y - 2

Теперь мы можем записать два отдельных уравнения для каждого случая:

1. Если y > 2: (y - 2) / (y + 2) = e^((-3/4) * cos(3x) - (4/3) * x^2 - C)

2. Если y < -2: (2 - y) / (-y - 2) = e^((-3/4) * cos(3x) - (4/3) * x^2 - C)

Это уравнения можно попробовать решить численно с учетом начальных условий или анализировать их поведение в разных диапазонах значений y и x.