Question

Исследовать функцию: f(x) = (x-2)^3 + 1

Answer 1

Ответ:

Х=1

..............

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции $f(x) = (x-2)^3 + 1$, мы можем проанализировать ее свойства, такие как область определения, область значений, поведение на бесконечности, точки экстремума и точки перегиба. Давайте начнем с этого.

1. Область определения (допустимых значений x): Функция $f(x)$ определена для всех действительных чисел x, так как корень третьей степени может быть вычислен для любого вещественного числа.

2. Область значений (допустимых значений f(x)): Давайте определим, какие значения может принимать функция $f(x)$. Она представляет собой кубическую функцию, и прибавление константы 1 к кубическому выражению не влияет на форму кривой. Кубическая функция может принимать любые действительные значения, поэтому область значений функции $f(x)$ также состоит из всех действительных чисел.

3. Поведение на бесконечности: При анализе поведения на бесконечности, у нас есть два основных случая:

   • Когда $x$ стремится к $+\infty$, $f(x)$ также стремится к $+\infty$, так как положительное число, возведенное в любую нечетную степень, остается положительным.
   • Когда $x$ стремится к $-\infty$, $f(x)$ также стремится к $-\infty$, так как отрицательное число, возведенное в нечетную степень, остается отрицательным.

4. Найдем точку экстремума: Чтобы найти точку экстремума, найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю:

   $f(x) = (x-2)^3 + 1$

   $f'(x) = 3(x-2)^2$

   Теперь приравняем $f'(x)$ к нулю и решим уравнение:

   $3(x-2)^2 = 0$

   $(x-2)^2 = 0$

   $x-2 = 0$

   $x = 2$

   Таким образом, у нас есть одна точка экстремума при $x = 2$. Чтобы определить характер этой точки (минимум или максимум), можно использовать вторую производную или анализ знаков в окрестности точки. В данном случае, так как $f'(x)$ положительна для всех значений $x \neq 2$, это означает, что точка $x = 2$ является локальным минимумом функции $f(x)$.

5. Точки перегиба: Чтобы найти точки перегиба, нужно найти вторую производную функции и найти значения $x$, для которых $f''(x) = 0$ или $f''(x)$ меняет знак. Вычислим вторую производную:

   $f'(x) = 3(x-2)^2$

   $f''(x) = 6(x-2)$

   Теперь найдем значения $x$, для которых $f''(x) = 0$:

   $6(x-2) = 0$

   $x-2 = 0$

   $x = 2$

   Таким образом, точка $x = 2$ является точкой перегиба функции $f(x)$.

Итак, после проведения анализа мы имеем следующую информацию о функции $f(x) = (x-2)^3 + 1$:

• Область определения: $-\infty < x < +\infty$
• Область значений: $-\infty < f(x) < +\infty$
• Поведение на бесконечности: $f(x)$ стремится к $-\infty$ при $x \to -\infty$ и к $+\infty$ при $x \to +\infty$
• Точка экстремума: $x = 2$ (локальный минимум)
• Точка перегиба: $x = 2$

Мы также можем построить график этой функции, чтобы визуально представить ее поведение.