Question

Найдите производную функций 1) y=cos x/ 3x 2)y= 3x^2-4x/5x+2 3) y= (5-cos4x)^3

Answer 1

Ответ:

1)

$y = \frac{ \cos(x) }{3x}$

$y' = \frac{ - \sin( x ) \times 3x - 3 \cos(x) }{ 9 {x}^{2} } = \\ = \frac{ 3(- x \sin(x) - \cos(x)) }{9 {x}^{2} } = \\ = \frac{ - x \sin(x) - \cos(x) }{3 {x}^{2} }$

2)

$y = \frac{3 {x}^{2} - 4x}{5x + 2}$

$y' = \frac{(6x - 4)(5x + 2) - 5(3 {x}^{2} - 4x)}{ {(5x + 2)}^{2} } = \\ = \frac{30 {x}^{2} + 12x - 20x - 15 {x}^{2} + 20x }{ {(5x + 2)}^{2} } = \\ = \frac{15 {x}^{2} + 12x }{ {(5x + 2)}^{2} }$

3)

$y = {(5 - \cos(4x)) }^{3}$

$y' = 3 {(5 - \cos(4x)) }^{2} \times \sin(4x) \times 4 = \\ = 12 \sin(4x) {(5 - \cos(4x)) }^{2}$

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций по очереди:

1. y = cos(x) / (3x)

Используя правило дифференцирования частного, получаем:

y' = (3x * (-sin(x)) - cos(x) * 3) / (3x)^2

Упростим выражение:

y' = (-3sin(x) - 3cos(x)) / (9x^2)

Теперь мы можем упростить дальше, разделив числитель и знаменатель на 3:

y' = (-sin(x) - cos(x)) / (3x^2)

2. y = (3x^2 - 4x) / (5x + 2)

Используя правило дифференцирования частного, получаем:

y' = [(2 * 3x^2 - (3x^2 - 4x) * 5) / (5x + 2)^2

Упростим числитель:

y' = (6x^2 - (15x^2 - 20x)) / (5x + 2)^2

y' = (6x^2 - 15x^2 + 20x) / (5x + 2)^2

y' = (-9x^2 + 20x) / (5x + 2)^2

3. y = (5 - cos(4x))^3

Используя правило цепочки (chain rule), мы сначала найдем производную внутренней функции, а затем умножим ее на производную внешней функции:

y' = 3(5 - cos(4x))^2 * (-sin(4x) * 4)

y' = -12(5 - cos(4x))^2 * sin(4x)

Это производная третьей функции.