Question

Помогите решить уравнение подробно cos² x - 3 sin x cos x + 2 sin² x = 0

Answer 1

Ответ:

π/4 + πn, где n ∈ Z;

arctg 1/2 + πk, где k ∈ Z.

Пошаговое объяснение:

cos²x - 3sinxcos x + 2sin²x = 0

Разделим обе части равенства на cos²x , т.к. cos²x ≠ 0.

(Действительно,

если бы cosx = 0, то и sinx = 0, a этого быть не может по основному тригонометрическими тождеству).

Запишем, что

cos²x/cos²x - 3sinxcosx/cos²x + 2sin²x/cos²x = 0

1 - 3tgx + 2tg²x = 0

2tg²x - 3tgx + 1 = 0

Пусть tgx = t, тогда

2t² - 3t + 1 = 0

D = 9 - 8 = 1

t1 = (3+1)/4 = 1;

t2 = (3-1)/4 = 2/4 = 1/2.

Получили, что

tgx = 1 или tgx = 1/2

1) tgx = 1

х = arctg 1 + πn, где n ∈ Z

х = π/4 + πn, где n ∈ Z.

2) tgx = 1/2

х = arctg 1/2 + πk, где k ∈ Z.

Ответ:

π/4 + πn, где n ∈ Z;

arctg 1/2 + πk, где k ∈ Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения, вы можете воспользоваться заменой тригонометрических функций и преобразованием уравнения в более простую форму. Давайте начнем с замены:

Заметим, что мы можем выразить cos^2(x) и sin^2(x) с использованием тригонометрической тождественности sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Таким образом, cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

Подставим это в уравнение:

scssCopy code
1 - sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) + 2sin^2(x) = 0

Теперь объединим подобные члены и упростим уравнение:

scssCopy code
1 - sin^2(x) + 2sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) = 0

Теперь у нас есть квадратичное уравнение относительно sin(x):

scssCopy code
3sin^2(x) - sin(x)cos(x) - 1 = 0

Это квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. Здесь a = 3, b = -cos(x), и c = -1.

Примените квадратное уравнение и найдите значение sin(x):

scssCopy code
sin(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае:

scssCopy code
sin(x) = (cos(x) ± √(cos^2(x) + 12)) / 6

Помните, что это уравнение может иметь несколько решений в интервале от 0 до 2π (или от 0 до 360 градусов), так как тригонометрические функции имеют периодическое повторение. Вы можете решить это уравнение для sin(x) и затем найти соответствующие значения x в этом интервале.