Question

Найдите sin a,cos a,cot a,если:tg a=5/2,pi<a<3pi/2​

Answer 1

Ответ:

угол принадлежит 3 четверти, синус, косинус отрицательный, котангенс положительный

$tg( \alpha ) = \frac{5}{2} \\ ctg( \alpha ) = \frac{1}{tg( \alpha )} = \frac{2}{5}$

используем формулу:

$1 + {tg}^{2} ( \alpha ) = \frac{1}{ { \cos }^{2} (\alpha )} \\ \cos( \alpha ) = + - \sqrt{ \frac{1}{1 + {tg}^{2}( \alpha ) } }$

$\cos( \alpha ) = - \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{25}{4} } } = - \sqrt{ \frac{4}{29} } = - \frac{2}{ \sqrt{29} }$

$\sin( \alpha ) = \sqrt{1 - { \cos}^{2} (\alpha ) } \\ \sin( \alpha ) = - \sqrt{1 - \frac{4}{29} } = - \sqrt{ \frac{25}{29} } = - \frac{5}{ \sqrt{29} }$

Answer 2

Для нахождения sin(a), cos(a) и cot(a), если tg(a) = 5/2 и a находится в интервале от π до 3π/2, мы можем использовать следующие тригонометрические идентичности:

1. tg(a) = sin(a) / cos(a)
2. cot(a) = 1 / tg(a)

Сначала найдем sin(a) и cos(a) с помощью tg(a):

tg(a) = 5/2

Из идентичности tg(a) = sin(a) / cos(a) мы можем записать:

sin(a) = tg(a) * cos(a)

Теперь используем cot(a):

cot(a) = 1 / tg(a)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (sin(a) и cos(a)):

1. sin(a) = (5/2) * cos(a)
2. cot(a) = 1 / (5/2)

Для второго уравнения:

cot(a) = 2/5

Теперь мы можем решить первое уравнение:

sin(a) = (5/2) * cos(a)

Для этого уравнения мы также можем использовать тригонометрическую идентичность:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

(sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1

Теперь подставим sin(a) из первого уравнения:

((5/2) * cos(a))^2 + (cos(a))^2 = 1

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

(25 * (cos(a))^2 + 4 * (cos(a))^2) = 4

(29 * (cos(a))^2) = 4

(cos(a))^2 = 4 / 29

cos(a) = ± sqrt(4 / 29)

cos(a) может быть положительным или отрицательным в зависимости от квадранта, в котором находится угол a. Так как a находится в третьем квадранте (от π до 3π/2), то cos(a) отрицателен.

cos(a) = -sqrt(4 / 29)

Теперь мы можем найти sin(a) с помощью первого уравнения:

sin(a) = (5/2) * cos(a)

sin(a) = (5/2) * (-sqrt(4 / 29))

sin(a) = -(5/2) * sqrt(4 / 29)

sin(a) = -(5/2) * (2 / sqrt(29))

sin(a) = -5 / sqrt(29)

Теперь у нас есть значения sin(a), cos(a) и cot(a):

sin(a) = -5 / sqrt(29) cos(a) = -sqrt(4 / 29) cot(a) = 2/5