Question

40 балов! Помогите! Решите уравнение сtgx=√3 (-3π/2;5π/2)​

Answer 1

Ответ:

- 5/6π; π/6; 1 1/6π; 2 1/6π.

Пошаговое объяснение:

сtgx = √3

х = arcctg √3 + πn, гле n ∈ Z

х = π/6 + πn, гле n ∈ Z

Найдём те решения, которые попадают промежуток (-3π/2 ; 5π/2):

если n = - 2, то х = π/6 - 2π = - 1 5/6π - не лежит в указанном промежутке;

если n = - 1, то х = π/6 - π = - 5/6π - лежит в указанном промежутке;

если n = 0, то х = π/6 - лежит в указанном промежутке;

если n = 1, то х = π/6 + π = 1 1/6π - лежит в указанном промежутке;

если n = 2, то х = π/6 + 2π = 2 1/6π - лежит в указанном промежутке;

если n = 3, то х = π/6 + 3π = 3 1/6π - не лежит в указанном промежутке.

Ответ:

- 5/6π; π/6; 1 1/6π; 2 1/6π.

Answer 2

Для решения уравнения ctg(x) = √3 в интервале (-3π/2; 5π/2), вам нужно найти все значения x, которые удовлетворяют данному условию. Сначала найдем общее решение этого уравнения, а затем отберем значения, которые лежат в указанном интервале.

Уравнение ctg(x) = √3 можно переписать как:

ctg(x) = 1/√3.

Теперь найдем общее решение этого уравнения. Значение ctg(x) равно 1/√3, когда угол x находится в первом квадранте (0 < x < π/2) или в третьем квадранте (π < x < 3π/2).

Таким образом, общее решение уравнения ctg(x) = 1/√3 выглядит следующим образом:

x = π/6 + kπ, где k - любое целое число.

Теперь мы имеем общее решение, и нам нужно найти значения x в интервале (-3π/2; 5π/2). Для этого давайте ограничим наше общее решение:

x = π/6 + kπ.

Для того чтобы найти значения x в заданном интервале, мы должны выбрать такие значения k, которые соответствуют этому интервалу. В данном случае, интервал (-3π/2; 5π/2) можно представить как интервал от -3π/2 до 5π/2 с исключением точек -3π/2 и 5π/2.

Таким образом, мы должны выбрать такие значения k, которые удовлетворяют следующему условию:

-3π/2 < π/6 + kπ < 5π/2

Давайте решим это неравенство:

-3π/2 < π/6 + kπ < 5π/2

Переносим π/6 налево:

-3π/2 - π/6 < kπ < 5π/2 - π/6

Упрощаем:

-9π/6 - π/6 < kπ < 29π/6 - π/6

-10π/6 < kπ < 28π/6

-5π/3 < kπ < 14π/3

Теперь делим каждую сторону неравенства на π:

-5/3 < k < 14/3

Таким образом, значения k, которые соответствуют интервалу (-3π/2; 5π/2), находятся в промежутке от -5/3 до 14/3. Теперь мы можем найти соответствующие значения x:

x = π/6 + kπ, где -5/3 < k < 14/3.

Теперь найдем конкретные значения x, удовлетворяющие этим условиям:

1. k = -2: x = π/6 - 2π = -11π/6

2. k = -1: x = π/6 - π = -π/6

3. k = 0: x = π/6

4. k = 1: x = π/6 + π = 7π/6

5. k = 2: x = π/6 + 2π = 13π/6

Таким образом, уравнение ctg(x) = √3 имеет решения x в интервале (-3π/2; 5π/2), а именно:

x = -11π/6, -π/6, π/6, 7π/6, 13π/6.