Question

Произведение 7 натуральных чисел заканчивается на 74.Можно ли их сумма быть равной 2021? Если да, то приведите примеры, а если нет то, объясните почему.

Answer 1

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

Нужно знать:

а) Результат произведение чётного числа с нечётным числом всегда чётное;

б) Результат произведение нечётного числа с нечётным числом всегда нечётное;

в) Сумма чётного числа с нечётным числом всегда нечётное;

г) Сумма нечётного числа с нечётным числом всегда чётное.

Пусть n₁, n₂, n₃, n₄, n₅, n₆ и n₇ - 7 натуральных чисел, произведение которых заканчивается на 74, то есть

n₁·n₂·n₃·n₄·n₅·n₆·n₇ = $\tt \overline{a_ka_{k-1}...a_274}.$

Последнее число представимо в виде

$\tt \overline{a_ka_{k-1}...a_274} = \overline{a_ka_{k-1}...a_201}\cdot 74.$

Так как 74 = 1·74 = 2·37 и других представлений нет, то рассмотрим 3 случая:

1) n₇=74. Тогда

n₁·n₂·n₃·n₄·n₅·n₆ = $\tt \overline{a_ka_{k-1}...a_201}$ - нечётное число и все множители нечётные числа. Тогда сумма S этих 6 нечётных чисел чётное число. Но тогда S+74 также чётное число и невозможно получить нечётное число 2021.

2) n₆=1 и n₇=74. Тогда

n₁·n₂·n₃·n₄·n₅ = $\tt \overline{a_ka_{k-1}...a_201}$ - нечётное число и все множители нечётные числа. Тогда сумма S этих 5 нечётных чисел нечётное число. Но тогда S+1+74 будет чётным числом и невозможно получить нечётное число 2021.

3) n₆=2 и n₇=37. Тогда

n₁·n₂·n₃·n₄·n₅ = $\tt \overline{a_ka_{k-1}...a_201}$ - нечётное число и все множители нечётные числа. Тогда сумма S этих 5 нечётных чисел нечётное число. Но тогда S+2+37 будет чётным числом и невозможно получить нечётное число 2021.

Answer 2

Давайте попробуем рассмотреть данную задачу. Предположим, что у нас есть семь натуральных чисел, и их произведение заканчивается на 74. То есть:

$N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 \cdot N_4 \cdot N_5 \cdot N_6 \cdot N_7 = AB74$,

где $N_1, N_2, N_3, N_4, N_5, N_6$ и $N_7$ - натуральные числа, а $A$ и $B$ - какие-то другие числа (возможно, с нулевыми старшими разрядами).

Теперь давайте посмотрим на сумму этих семи чисел:

$N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5 + N_6 + N_7 = S$.

Нам нужно определить, можно ли сумму $S$ сделать равной 2021.

Для начала, заметим, что сумма семи натуральных чисел всегда будет больше или равна 7, так как каждое из чисел как минимум 1. Таким образом, $S \geq 7$.

Теперь предположим, что сумма $S$ равна 2021. Тогда:

$N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5 + N_6 + N_7 = 2021$.

Теперь давайте посмотрим на остаток от деления $2021 - AB74$ на 7:

$(2021 - AB74) \mod 7$.

Если остаток от деления не равен нулю, то это означает, что сумму $S$ невозможно сделать равной 2021 среди семи натуральных чисел, произведение которых оканчивается на 74. Это происходит потому, что сумма натуральных чисел, которые оканчиваются на 4 и 7, также оканчивается на 4 или 7, и добавление чисел с таким остатком от деления на 7 не изменит остаток от деления на 7 суммы.

Следовательно, чтобы сумма была равна 2021, остаток от деления $(2021 - AB74) \mod 7$ должен быть равен нулю. То есть:

$(2021 - AB74) \mod 7 = 0$.

Остаток от деления 2021 на 7 равен 2, поэтому задача не имеет решения. Следовательно, сумму 2021 нельзя получить среди семи натуральных чисел, произведение которых заканчивается на 74.