Question

Какое наименьшее количество уголков из трёх клеток можно расположить в квадрате 5х5 таким образом, чтобы больше нельзя было положить ни одного другого уголка без наложений?

Answer 1

Заметим, что если мы для текущей расстановки не можем положить еще один уголок, то выполняется следующее условие: в любом квадрате 2х2 закрашено не менее двух клеток. Действительно, если в квадрате 2х2 закрашена только одна клетка, то в оставшиеся три клетки размещается еще один уголок. Тем более уголок размещается, если в квадрате 2х2 нет закрашенных клеток.

Рассмотрим в квадрате 5х5 четыре квадрата 2х2, выделенных на картинке. Поскольку один уголок не может одновременно располагаться в двух таких квадратах, то уголков должно быть как минимум четыре, для того чтобы выполнялось условие, оговоренное выше.

Итак, минимальное число уголков равно 4. Но для 4 уголков мы уже можем показать требуемую расстановку (на картинке).

Ответ: 4

Answer 2

Для того чтобы разместить уголок из трёх клеток в квадрате 5x5 так, чтобы больше нельзя было положить ни одного другого уголка без наложений, можно использовать следующую конфигурацию:

Copy code
X X X X X
X       X
X       X
X       X
X X X X X

В этой конфигурации уже используется 3 уголка из трёх клеток, и больше нельзя разместить ни одного такого уголка без наложений.