Question

Знайдіть косинус кута А трикутника АВС, якщо А(-3; 1), В(1; 3), C(5; -5).​

Answer 1

Ответ:

$cosA=\dfrac{\sqrt{5} }{5}$

Пошаговое объяснение:

Найдем длины сторон треугольника, как расстояние между точками по формуле:

$d=\sqrt{(x{_1}-x{_2})^{2}+(y{_1}-y{_2})^{2} }$

$AB=\sqrt{(-3-1)^{2}+(1-3)^{2} } =\sqrt{(-4)^{2} +(-2)^{2} } =\sqrt{16+4} =\sqrt{20} ;\\\\BC=\sqrt{(1-5)^{2}+(3+5)^{2} } =\sqrt{(-4)^{2} +8^{2} } =\sqrt{16+64} =\sqrt{80} ;\\\\AC=\sqrt{(-3-5)^{2}+(1+5)^{2} } =\sqrt{(-8)^{2} +6^{2} } =\sqrt{64+36} =\sqrt{100} =10.$

Так как

$AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} ;\\10^{2} =(\sqrt{20} )^{2} +(\sqrt{80} )^{2};\\100=20+80;\\100=100.$,

то по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔABC- прямоугольный с гипотенузой AC .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета на гипотенузу.

$cosA=\dfrac{AB}{AC} ;\\\\cosA=\dfrac{\sqrt{20} }{10}=\dfrac{2\sqrt{5} }{10} =\dfrac{\sqrt{5} }{5}$

Answer 2

Для знаходження косинуса кута A трикутника ABC, ви можете використовувати формулу косинуса для кутів між векторами. Кут A розташований при вершині А трикутника, тому нам потрібно обчислити косинус кута між векторами AB та AC. Формула для цього виглядає так:

cos(A) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|)

Де:

• AB - вектор, який йде від точки A до точки B.
• AC - вектор, який йде від точки A до точки C.
• |AB| - довжина вектора AB.
• |AC| - довжина вектора AC.
• AB • AC - скалярний добуток векторів AB і AC.

Спочатку знайдемо вектори AB і AC:

AB = (1 - (-3), 3 - 1) = (4, 2) AC = (5 - (-3), -5 - 1) = (8, -6)

Тепер знайдемо їхні довжини:

|AB| = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 |AC| = √(8^2 + (-6)^2) = √(64 + 36) = √100 = 10

Далі знайдемо скалярний добуток AB і AC:

AB • AC = (4 * 8) + (2 * (-6)) = 32 - 12 = 20

Тепер ми можемо використовувати формулу для знаходження косинуса кута A:

cos(A) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|) = 20 / (2√5 * 10) = 20 / (20√5) = 1 / √5

Косинус кута A трикутника ABC дорівнює 1 / √5. Це можна спростити до більш зручного вигляду, помноживши чисельник і знаменник на √5:

cos(A) = (1 / √5) * (√5 / √5) = √5 / 5

Отже, косинус кута A дорівнює √5 / 5.