Question

Найти точки экстремума функции y=xe^-x

Answer 1

Ответ:

x=1

Пошаговое объяснение:

Точки экстремума — это те точки, в которых производная равна нулю

$y' = {e}^{ - x} - x {e }^{ - x} = {e}^{ - x} (1 - x) \\ {e}^{ - x} (1 - x) = 0 \\ x = 1$

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции $y = x \cdot e^{-x}$ следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции $y$ по $x$ ( $y'$ ).
2. Найдите критические точки, где $y' = 0$ или $y'$ не существует.
3. Проверьте характер точек (минимум, максимум, или нет).

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем $y'$:

   Используя правило производной произведения, получим:

   $y' = e^{-x} - x \cdot e^{-x}$

2. Найдем критические точки:

   Установим $y' = 0$ и решим уравнение:

   $e^{-x} - x \cdot e^{-x} = 0$

   Вынесем общий множитель $e^{-x}$:

   $e^{-x} (1 - x) = 0$

   Это равенство будет верным, когда:

   $e^{-x} = 0 \quad \text{или} \quad 1 - x = 0$

   Однако, $e^{-x}$ никогда не равно нулю, так как это экспоненциальная функция с положительным базисом. Поэтому у нас есть только одна критическая точка при $x = 1$.

3. Определение характера точки:

   Чтобы определить, является ли точка $x = 1$ минимумом, максимумом или седловой точкой, нам нужно исследовать вторую производную.

   Вычислим $y''$ (вторая производная):

   $y'' = e^{-x} + x \cdot e^{-x}$

   Подставим $x = 1$:

   $y''(1) = e^{-1} + 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} + \frac{1}{e} = \frac{2}{e}$

   Так как $y''(1) > 0$, то это говорит о том, что у нас есть локальный минимум при $x = 1$.

Итак, точка $(1, e^{-1})$ является локальным минимумом функции $y = x \cdot e^{-x}$.