Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=7x+x^2 и y=7+x

Answer 1

Ответ:

=========================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 7x + x^2 и y = 7 + x, нужно найти точки их пересечения, а затем интегрировать разность этих функций вдоль интервала между этими точками. Площадь будет равна модулю этого интеграла.

Сначала найдем точки пересечения двух функций, приравнивая их:

7x + x^2 = 7 + x

Теперь выразим x:

x^2 + 6x - 7 = 0

Решим это уравнение квадратным способом:

D = 6^2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64

x1 = (-6 + √64) / 2 = (-6 + 8) / 2 = 1 x2 = (-6 - √64) / 2 = (-6 - 8) / 2 = -7

Таким образом, точки пересечения графиков находятся при x = 1 и x = -7.

Теперь вычислим интеграл от разности этих функций на интервале [-7, 1]:

S = ∫[1, -7] (7 + x - (7x + x^2)) dx

S = ∫[1, -7] (7 + x - 7x - x^2) dx

S = ∫[1, -7] (-x^2 - 6x + 7) dx

Для вычисления этого интеграла, используем правила интегрирования:

S = [(-x^3/3) - (3x^2) + 7x] |[1, -7]

Теперь вычислим значения этой функции на интервалах [1, -7]:

S = [(-(1)^3/3) - (3(1)^2) + 7(1)] - [(-(-7)^3/3) - (3(-7)^2) + 7(-7)]

S = [(-1/3) - 3 + 7] - [(-343/3) - 147 - 49]

S = [3/3] - [(-343/3) - 147 - 49]

S = 1 - (-343/3 + 147 + 49)

S = 1 + 343/3 - 147 - 49

S = (3 + 343 - 441 - 147) / 3

S = (-242) / 3

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 7x + x^2 и y = 7 + x, равна -242/3 квадратных единиц.