Question

Какой цифрой заканчивается разность 1 *2* 3 *4.... *2021-1 *3 *5.... *2019 *2021?

Answer 1

Ответ:

В уменьшаемом присутствуют числа оканчивающиеся на 2 и 5, поэтому оно будет оканчиваться на 0. В вычитаемом все числа нечётные, поэтому их произведение будет оканчиваться на 5, значит разность оканчивается цифрой 5.

Answer 2

Чтобы найти последнюю цифру разности 1234...2021 - 135...20192021, давайте разобьем ее на два множителя и рассмотрим каждый из них:

1234...2021 - 135...20192021 = (1234...2021) - (135...20192021)

Обратите внимание, что каждый множитель вида 1234...2021 является произведением всех нечетных чисел от 1 до 2021, что эквивалентно 2021!!. А каждый множитель вида 135...20192021 является произведением всех нечетных чисел от 1 до 2019 с умножением на 2021 в конце, что также эквивалентно (2019!!) * 2021.

Теперь мы можем переписать разность следующим образом:

(2021!! - 2019!! * 2021)

Теперь нам нужно найти последнюю цифру этой разности. Для этого мы можем использовать свойство последних цифр: последняя цифра произведения чисел зависит только от последних цифр самих чисел.

1. Последняя цифра 2021!!: Чтобы найти последнюю цифру 2021!!, давайте рассмотрим, сколько нулей будет в конце этого числа. Для этого нам нужно посчитать, сколько пар чисел (четных и нечетных) у нас есть в диапазоне от 1 до 2021. Поскольку четных чисел столько же, сколько нечетных, и каждая пара даст нам 1 ноль в конце, мы получим (2021 / 2) = 1010 нулей в конце числа 2021!!. Следовательно, последняя цифра 2021!! будет такой же, как последняя цифра 1, то есть 1.

2. Последняя цифра 2019!!: Аналогично, последняя цифра 2019!! будет такой же, как последняя цифра 1, то есть 1.

Теперь у нас есть:

(2021!! - 2019!! * 2021) = (1 - 1 * 1) = 0

Таким образом, разность заканчивается цифрой 0.