Question

Найти частные решения дифференциальных уравнений II порядка с постоянными коэффициентами. 1) y''-3y'+2y=0 если если y=2, y'=3 при x=02) y''-10y'+25y=0 если y=2, y'=8 при x=03) y''-4y'+5y=0 если y=1, y'=-1 при x=0

Answer 1

Ответ:

везде одна замена:

$y = {e}^{kx}$

1)

${k}^{2} - 3k + 2 = 0 \\ d = 9 - 8 = 1 \\ k1 = 2 \\ k2 = 1 \\ y = C1 {e}^{2x} + C2 {e}^{x}$

общее решение

$y(0) = 2,y'(0) = 3$

$y' = 2C1 {e}^{2x} + C2 {e}^{x}$

$2 = C1 + C2 \\ 3 = 2C1 + C2 \\ \\ C2 = 2 - C1 \\ 2C1 + 2 - C1 = 3 \\ \\ C1 = 1 \\ C2 = 2 - 1 = 1$

$y = {e}^{2x} + {e}^{x}$

частное решение

2)

${k}^{2} - 10k + 25 = 0 \\ {(k - 5)}^{2} = 0 \\ k1 = k2 = 5 \\ y = C1 {e}^{5x} + C2 {e}^{5x} x$

общее решение

$y(0) = 2,y'(0) = 8$

$y' = 5c1 {e}^{5x} + 5c2 {e}^{5x} x + c2 {e}^{5x}$

$2 = C1 + 0 \\ 8 = 5C1 + C2 \\ \\ C1 = 2 \\ C2 = 8 - 5C1 = - 2$

$y = 2 {e}^{5x} - 2 {e}^{5x} x \\ y = {e}^{5x} (2 - 2x)$

частное решение

3)

${k}^{2} - 4 k + 5 = 0 \\ d = 16 - 20 = - 4 \\ k1 = \frac{4 + \sqrt{ - 4} }{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i \\ k2 = 2 - i \\ y = {e}^{2x} (C1 \sin(x) + C2 \cos(x) )$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = - 1$

$y' = 2 {e}^{2x} (C1 \sin(x) + C2\cos(x)) + {e}^{2x} (C1 \cos(x) - C2 \sin(x) )$

$1 = C2 \\ - 1 = 2C2 + C1 \\ \\ C1 = - 1 - 2C2 = - 3$

$y = {e}^{2x} ( - 3 \sin(x) + \cos(x))$

частное решение

Answer 2

Для нахождения частных решений дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, мы можем использовать метод ансамбля фундаментальных решений.

Уравнение второго порядка имеет вид: $ay'' + by' + cy = 0,$

где $a$, $b$, и $c$ - постоянные коэффициенты.

1. Уравнение $y'' - 3y' + 2y = 0$

Характеристическое уравнение: $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ $1\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение, чтобы найти корни $\lambda$:

$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$ $(\lambda - 2)(\lambda - 1) = 0$

Корни $\lambda_1 = 2$ и $\lambda_2 = 1$.

Частное решение имеет вид: $y_p(x) = A e^{\lambda_1 x} + B e^{\lambda_2 x}$

Подставим начальные условия:

$y = 2$ при $x = 0$: $2 = A e^{0} + B e^{0} = A + B$ ...(1)

$y' = 3$ при $x = 0$: $3 = A \lambda_1 e^{0} + B \lambda_2 e^{0} = 2A + B$ ...(2)

Теперь решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения $A$ и $B$:

$A + B = 2$ $2A + B = 3$

Выразим $B$ из первого уравнения: $B = 2 - A$. Подставим это значение во второе уравнение:

$2A + (2 - A) = 3$

Решив это уравнение, найдем $A$ и $B$:

$A + 2 = 3$ $A = 3 - 2$ $A = 1$

Теперь найдем $B$:

$B = 2 - A = 2 - 1 = 1$

Итак, $A = 1$ и $B = 1$.

Частное решение уравнения $y'' - 3y' + 2y = 0$ с начальными условиями $y=2$ и $y'=3$ при $x=0$ равно: $y_p(x) = e^{2x} + e^{x}$

2. Уравнение $y'' - 10y' + 25y = 0$

Аналогично первому уравнению, характеристическое уравнение имеет вид: $1\lambda^2 - 10\lambda + 25 = 0$

Решив его, мы получим два одинаковых корня $\lambda_1 = \lambda_2 = 5$.

Частное решение имеет вид: $y_p(x) = (A + Bx) e^{5x}$

Подставим начальные условия:

$y = 2$ при $x = 0$: $2 = A e^{0} = A$ ...(3)

$y^{}$