Question

Методом логарифмического дифференцирования найти производную функции: y = (x/(x+1))^x

Answer 1

Ответ:

$y = {( \frac{x}{x + 1}) }^{x} \\ y'=(ln(y))'\times y$

$( ln(y))' = ( ln( {( \frac{x}{x + 1} )}^{x} ) ' = \\ = (x \times ln( \frac{x}{x + 1} ) ) '= \\ = ln( \frac{x}{x + 1} ) + x \times \frac{1}{ \frac{x}{x + 1} } \times \frac{x + 1 - x}{ {(x + 1)}^{2} } = \\ = ln( \frac{x}{x + 1} ) + x \times \frac{x + 1}{x} \times \frac{1}{ {(x + 1)}^{2} } = \\ = ln( \frac{x}{x + 1} ) + \frac{1}{x + 1}$

$y' = {( \frac{x}{x + 1}) }^{x} \times ( ln( \frac{x}{x + 1} ) + \frac{1}{x + 1} )$

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = \left(\frac{x}{x+1}\right)^x$ методом логарифмического дифференцирования, давайте выполним следующие шаги:

1. Возьмем натуральный логарифм (ln) от обеих сторон уравнения: $\ln(y) = \ln\left(\left(\frac{x}{x+1}\right)^x\right)$

2. Используем свойство логарифмов $\ln(a^b) = b \ln(a)$: $\ln(y) = x \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)$

3. Теперь дифференцируем обе стороны по переменной $x$. Для этого применим цепное правило (chain rule) справа: $\frac{d}{dx}(\ln(y)) = \frac{d}{dx}(x \ln\left(\frac{x}{x+1}\right))$

4. Начнем с левой стороны. Производная $\ln(y)$ по $x$ равна $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$.

5. Для правой стороны воспользуемся правилом производной произведения: $\frac{d}{dx}(x \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)) = x \cdot \frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\right) + \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) \cdot \frac{d}{dx}(x)$

6. Найдем производные компонентов правой стороны:

   • $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\right)$ можно найти с помощью правила дифференцирования логарифма: $\frac{d}{dx}\left(\ln(u)\right) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$.
   • $\frac{d}{dx}(x) = 1$.

7. Подставим найденные производные обратно в уравнение: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x \cdot \left(\frac{1}{\frac{x}{x+1}}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+1}\right) + \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) \cdot 1$

8. Упростим правую сторону: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{x+1}{x} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+1}\right) + \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)$

9. Умножим обе стороны на $y$ и выразим \frac{dy}{dx: $\frac{dy}{dx} = y \cdot \left(x \cdot \frac{x+1}{x} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+1}\right) + \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\right)$