Question

СРОЧНО! 1. Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями; y=x^2+4,y=6 3.Найдите общее решение неравенств: log1/2(x^2+4)<-3 и 11^1+X2>1/121

Answer 1

Ответ:

$\frac{8\sqrt{2}}{3}$  квадратных единиц.

Пошаговое объяснение:

$y=x^{2}+4, \quad y=6 \Rightarrow x^{2}+4=6 \Rightarrow x^{2}=2 \Rightarrow x_{1}=-\sqrt{2}, \quad x_{2}=\sqrt{2};$

Найдём абсциссу вершины параболы:

$y=x^{2}+4 \Rightarrow y'=(x^{2}+4)'=2x;$

$2x=0 \Rightarrow x=0;$

$y=0^{2}+4=0+4=4;$

Нижняя точка параболы имеет ординату, равную 4. Вторая ограничивающая линия имеет ординату 6, значит, график функции

$y=6$

находится выше графика функции

$y=x^{2}+4.$

Отсюда имеем:

$S=\int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {(6-(x^{2}+4))} \, dx = \int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {(6-x^{2}-4)} \, dx = \int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {(2-x^{2})} \, dx = \int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {2} \, dx -$

$-\int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {x^{2}} \, dx = 2x \bigg | _{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}-\frac{x^{3}}{3} \bigg | _{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=2 \cdot (\sqrt{2}-(-\sqrt{2}))-(\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3}-\frac{(-\sqrt{2})^{3}}{3})=$

$=2 \cdot (\sqrt{2}+\sqrt{2})-(\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3})=4\sqrt{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{12\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3};$

Answer 2

1. Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 4 и y = 6, нужно найти точки их пересечения и затем найти интеграл от функции y = x^2 + 4 минус функции y = 6 в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения: x^2 + 4 = 6 x^2 = 6 - 4 x^2 = 2 x = ±√2

Теперь мы можем найти интеграл: ∫[√2, -√2] (x^2 + 4 - 6) dx

∫[√2, -√2] (x^2 - 2) dx

Теперь вычислим интеграл: (1/3)x^3 - 2x |[√2, -√2]

[(1/3)(√2)^3 - 2√2] - [(1/3)(-√2)^3 + 2√2]

[(2√2/3) - 2√2] - [(-2√2/3) + 2√2]

(2√2/3 - 2√2) + (2√2/3 + 2√2)

2(2√2/3) = (4√2/3)

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна 4√2/3.

2. Найдем общее решение неравенств:

a) log₁/₂(x^2 + 4) < -3

Для начала, возьмем логарифмы с обеих сторон:

log₁/₂(x^2 + 4) < -3

Теперь используем свойство логарифмов, что log(a) < b эквивалентно a < 2^b:

x^2 + 4 < 2^(-3)

x^2 + 4 < 1/8

x^2 < 1/8 - 4

x^2 < -31/8

Это неравенство не имеет решений, так как x^2 не может быть отрицательным числом.

b) 11^(1 + x^2) > 1/121

Сначала найдем обратное неравенство:

1/11^(1 + x^2) < 1/121

Теперь преобразуем неравенство с обратным значением:

11^(1 + x^2) < 11^(-2)

Теперь используем свойство степеней, что a^(m + n) = a^m * a^n:

11 * 11^(x^2) < 11^(-2)

Теперь делим обе стороны на 11:

11^(x^2) < 11^(-2) / 11

11^(x^2) < 11^(-3)

Теперь, чтобы найти общее решение, можно установить равенство:

x^2 < -3

Это неравенство также не имеет решений, так как x^2 не может быть отрицательным числом.

Итак, ни одно из данных неравенств не имеет решений.