Question

Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями y=x³+1, y=x-3, x=0, x=2

Answer 1

Ответ:

==================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^3+1$, $y=x-3$, $x=0$, и $x=2$, нам нужно сначала найти точки пересечения этих линий и затем вычислить интеграл площади между этими точками.

1. Начнем с нахождения точек пересечения:

   Сначала найдем точку пересечения между $y=x^3+1$ и $y=x-3$. Для этого приравняем выражения:

   $x^3+1 = x-3$

   Перенесем все члены на одну сторону:

   $x^3 - x + 1 + 3 = 0$

   $x^3 - x + 4 = 0$

   Теперь найдем решения этого уравнения. Это может быть сложной задачей, но в данном случае мы видим, что $x=1$ - одно из решений:

   $1^3 - 1 + 4 = 1 - 1 + 4 = 4$

   Таким образом, у нас есть одна точка пересечения, которая равна $(1, 4)$.

2. Теперь найдем точки пересечения с вертикальными линиями $x=0$ и $x=2$. Эти точки будут $(0, 0)$ и $(2, 0)$, соответственно.

3. Теперь у нас есть три точки: $(0, 0)$, $(1, 4)$ и $(2, 0)$. Эти точки ограничивают фигуру.

4. Теперь мы можем вычислить интеграл для площади между этими точками. Интеграл будет следующим:

   $S = \int_{0}^{1} (x^3+1 - x+3)dx + \int_{1}^{2} (x-3 - x^3-1)dx$

   $S = \int_{0}^{1} (x^3 - x + 4)dx - \int_{1}^{2} (x^3 - x + 4)dx$

   Теперь вычислим эти интегралы:

   $S = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + 4x\right]_{0}^{1} - \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + 4x\right]_{1}^{2}$

   $S = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 4\right) - \left(\frac{16}{4} - \frac{4}{2} + 8 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 4\right)$

   $S = \left(-\frac{1}{4} + 4\right) - \left(4 - 2 + 8 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 4\right)$

   $S = \left(\frac{15}{4}\right) - \left(11 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right)$

   $S = \frac{15}{4} - \left(\frac{44}{4} - \frac{1}{4} + \frac{2}{4}\right)$