Question

Интеграл tgxdx/cos^2 x

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{1}{ { \cos}^{2} (x)} \times tg(x)dx = \\ = \int\limits \: tg(x)d(tgx) = \frac{ {tg}^{2} x}{2} + c$

1/cos^2x - это производная тангенса. Заносим в дифференциал, интегрируем как переменную

Answer 2

Давайте рассмотрим интеграл:

∫(tg(x)dx / cos^2(x))

Чтобы решить этот интеграл, мы можем воспользоваться методом замены. Для этого давайте проведем замену переменной:

Пусть u = tg(x), тогда du/dx = sec^2(x), и dx = du / sec^2(x)

Теперь мы можем выразить cos^2(x) через u:

cos^2(x) = 1 / (1 + tg^2(x)) = 1 / (1 + u^2)

Исходный интеграл теперь выглядит так:

∫(u du / (1 + u^2))

Теперь мы можем разложить дробь на две части:

∫(u du) / (1 + u^2) - ∫(u du) / (1 + u^2)

Первый интеграл можно легко решить, он равен арктангенту (atan):

∫(u du) / (1 + u^2) = atan(u) + C1

Второй интеграл также равен арктангенту, но с другой константой:

-∫(u du) / (1 + u^2) = -atan(u) + C2

Теперь мы можем объединить два интеграла и добавить общую константу:

∫(tg(x)dx / cos^2(x)) = atan(u) - atan(u) + C

Где C = C1 + C2 - это константа интегрирования.

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x, используя замену u = tg(x):

= atan(tg(x)) - atan(tg(x)) + C

Так как atan(tg(x)) - atan(tg(x)) = 0, то итоговый ответ равен просто:

0 + C = C

Таким образом, интеграл ∫(tg(x)dx / cos^2(x)) равен C, где C - произвольная константа интегрирования.