Question

Найти полный дифференициал второго поррядка для z=6x^4 - 4y^3С решением

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z=6x⁴ - 4y³

$z'' = z''_xdx^2+2z''dxdy+z''_ydy^2$

$z'_x= 24x^3;$   $z''_x=(z'_x)'_x= 72x^2$

$z'_y= -12y^2;$    $z''_y=(z'_y)'=-24y$

$z''_{xy}=(z'_x)'_y=(24x^3)'_y=0$

и вот полный дифференициал второго поррядка для z=6x⁴ - 4y³

$z'' = (72x^2)dx^2 -(24y)dy^2$

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала второго порядка для функции z = 6x^4 - 4y^3, нам нужно дважды продифференцировать эту функцию по переменным x и y.

Начнем с первых производных:

1. Частная производная по x (первого порядка): ∂z/∂x = 24x^3

2. Частная производная по y (первого порядка): ∂z/∂y = -12y^2

Теперь возьмем вторые производные:

3. Вторая частная производная по x (второго порядка): ∂²z/∂x² = 72x^2

4. Смешанная производная по x и y (второго порядка): ∂²z/∂x∂y = 0 (здесь нуль, так как частная производная по x уже вычислена и не зависит от y)

5. Вторая частная производная по y (второго порядка): ∂²z/∂y² = -24y

Теперь мы имеем все необходимые производные для нахождения полного дифференциала второго порядка:

d²z = (∂²z/∂x²)dx² + 2(∂²z/∂x∂y)dxdy + (∂²z/∂y²)dy²

Подставляя вычисленные значения:

d²z = (72x^2)dx² + 2(0)dxdy + (-24y)dy²

d²z = 72x^2dx² - 24ydy²

Это и есть полный дифференциал второго порядка для функции z = 6x^4 - 4y^3.