Question

Докажите, что хорды AB и CD равны, если O - центр окружности.

Answer 1

Ответ:

АО = ВО = СО = DO – как радиусы окружности

АВ = CD – по условию

Значит, ∆ АОВ = ∆ COD по трём сторонам

В равных треугольниках соответственно равные элементы: стороны и углы

Значит, угол АОВ = угол COD , что и требовалось доказать

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что хорды AB и CD равны, если O - центр окружности, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Рассмотрим окружность с центром в точке O.

2. Проведем две хорды AB и CD, которые пересекаются в точке E внутри окружности. Для удобства обозначим угол между хордами AB и CD как угол α.

3. Проведем радиусы OA и OB, а также OC и OD, соединяющие центр окружности O с точками пересечения хорд (точками A, B, C и D).

4. Известно, что радиусы, проведенные к точкам пересечения хорд, перпендикулярны к хордам. Таким образом, у нас есть два параллельных перпендикуляра: OA и OB, а также OC и OD.

5. Рассмотрим треугольники OAB и OCD. Они прямоугольные треугольники с одним общим углом α.

6. Так как OA и OB параллельны и перпендикулярны к AB, и OC и OD параллельны и перпендикулярны к CD, то углы OAB и OCD равны между собой (по свойству параллельных перпендикуляров).

7. Также известно, что OA = OB и OC = OD, так как это радиусы одной и той же окружности.

8. Теперь, по теореме о равных треугольниках, треугольники OAB и OCD подобны (они имеют равные углы и соответствующие стороны пропорциональны).

9. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны AB и CD тоже пропорциональны, а именно, AB/CD = OA/OC = OB/OD.

10. Так как OA = OB и OC = OD (по радиусам окружности), то AB/CD = 1, что означает, что AB и CD равны.

Таким образом, мы доказали, что хорды AB и CD равны, если O - центр окружности.