Question

Перпендикулярны ли вектора c=a+b и c=2a-2b, если a=3i-j+2k b={1, 2,-3}​

Answer 1

a = 3i - j + 2k; b{1; 2; -3} ⇒ b = 1i + 2j - 3k;

c = a + b = 3i - j + 2k + 1i + 2j - 3k = 4i + j - k;

d = 2a - 2b = 2·(a - b) = 2·(3i - j + 2k - 1i - 2j + 3k) = 2·(2i - 3j + 5k);

Составим скалярное произведение c и d:

c · d = (4i + j - k)·2·(2i - 3j + 5k) = 2·(4·2 - 1·3 - 1·5) = 2·(8 - 3 - 5) = 0 ⇒ c⊥d

Answer 2

Для определения, перпендикулярны ли векторы c = a + b и c = 2a - 2b, мы можем использовать следующее свойство: два вектора перпендикулярны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю.

Сначала найдем векторы a и b: a = 3i - j + 2k b = {1, 2, -3}

Теперь вычислим c = a + b: c = a + b = (3i - j + 2k) + {1, 2, -3} = {3i + 1, 2 - j, 2k - 3}

Теперь найдем второй вектор c = 2a - 2b: c = 2a - 2b = 2(3i - j + 2k) - 2{1, 2, -3} = {6i - 2j + 4k} - {2, 4, -6} = {6i - 2j + 4k - 2, -4, 10}

Теперь у нас есть два вектора: c1 = {3i + 1, 2 - j, 2k - 3} c2 = {6i - 2j + 4k - 2, -4, 10}

Чтобы определить, перпендикулярны ли они, вычислим их скалярное произведение и проверим, равно ли оно нулю:

c1 * c2 = (3i + 1)(6i - 2j + 4k - 2) + (2 - j)(-4) + (2k - 3)(10)

Выполняя умножение, получаем:

c1 * c2 = 18i^2 + 6i - 6ij - 12k - 12 + 2 - 10j + 20k - 30

Теперь объединим похожие члены:

c1 * c2 = (18i^2 + 6i) + (-6ij - 10j) + (-12k + 20k) + (-12 - 30)

Используя то, что i^2 = j^2 = k^2 = -1, мы можем упростить это выражение:

c1 * c2 = (18 * (-1) + 6i) + (-6ij - 10j) + (8k) + (-42)

Теперь вычислим сумму:

c1 * c2 = (-18 + 6i - 6ij - 10j + 8k - 42)

Теперь проверим, равно ли скалярное произведение нулю:

-18 + 6i - 6ij - 10j + 8k - 42 = 6i - 6ij - 10j + 8k - 60

Скалярное произведение не равно нулю, следовательно, векторы c1 и c2 не перпендикулярны друг другу.