Question

Решить неопределённый интеграл dx / x(25+In^2x)

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{dx}{x(25 + {ln}^{2}(x) }$

1/х - производная lnx, заносим пол знак дифференциала.

$\int\limits \frac{1}{x} \times \frac{dx}{ {ln}^{2} x + 25} = \int\limits \frac{d (ln(x)) }{ {ln}^{2}x + {5}^{2} }$

это табличный интеграл:

$\int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + {a}^{2} } = \frac{1}{a} arctg( \frac{x}{a} ) + C$

$= \frac{1}{5} arctg( \frac{ ln(x) }{5} ) + C$

Answer 2

Для решения данного неопределенного интеграла, мы можем воспользоваться методом частей (интегрирование по частям). Формула для интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это выбранные функции для дифференцирования и интегрирования соответственно.

Давайте выберем u и dv:

u = 1/x dv = dx / (25 + ln^2(x))

Теперь найдем производные и интегралы:

du = -dx / x^2 v = ∫dv = ∫(dx / (25 + ln^2(x)))

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫(dx / x(25 + ln^2(x))) = uv - ∫v du = (1/x) * ∫(dx / (25 + ln^2(x))) + ∫(dx / x^2)

Первый интеграл (1/x) * ∫(dx / (25 + ln^2(x))) не имеет аналитического выражения в виде элементарных функций, поэтому его придется оставить в таком виде.

Второй интеграл ∫(dx / x^2) = -1/x + C, где C - постоянная интеграции.

Таким образом, окончательное выражение для неопределенного интеграла будет:

∫(dx / x(25 + ln^2(x))) = (1/x) * ∫(dx / (25 + ln^2(x))) - 1/x + C

Где C - постоянная интеграции.