Question

Найти площадь между кривыми: x^2 + y^2 + 2x = 0, x^2 + y^2 + 2y = 0. Применить и полярные, и декартовы координаты.

Answer 1

Ответ:

{х^2+y^2+2x=0

{0x^2+y^2+2y=0

{x^2+y^2+2x=0

{y^2+2y=0

y^2+2y=0

y=0

y=-2

x^2+0^2+2x=0

x^2+(-2)^2+2x=0

x=0

x=-2

0^2+0^2+2×0=0^2+0^2+2×0

(-2)^2+0^2+2(-2)=0×(-2)^+0^2+2×0

0=0=0

0=0=0

(X1,y1)=(0,0)

(x2,y2)=(-2,0)

Answer 2

Для нахождения площади между двумя кривыми вам нужно сначала найти точки их пересечения, а затем выразить площадь между ними как разницу между интегралами в соответствующих координатах.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения двух кривых:

1. Начнем с уравнений:

   • $x^2 + y^2 + 2x = 0$
   • $x^2 + y^2 + 2y = 0$

2. Выразим y из первого уравнения: $y^2 = -x^2 - 2x$

3. Подставим это выражение во второе уравнение: $x^2 + (-x^2 - 2x) + 2y = 0$

4. Упростим: $-2x + 2y = 0$

5. Решим это уравнение относительно y: $2y = 2x$ $y = x$

Теперь мы знаем, что кривые пересекаются при $y = x$. Это дает нам точку пересечения в декартовых координатах.

Теперь перейдем к вычислению площади между кривыми, используя как декартовы, так и полярные координаты:

В декартовых координатах:

1. Найдем точки пересечения, которые мы уже нашли: $y = x$.

2. Теперь нам нужно найти пределы интегрирования. Площадь будет между $y = x$ и обоими кривыми, поэтому пределы интегрирования по x будут от -1 до 0.

3. Площадь между кривыми можно найти следующим образом: $S = \int_{-1}^{0} [(x^2 + y^2 + 2x) - (x^2 + y^2 + 2y)] dx$ Упростим интеграл: $S = \int_{-1}^{0} (2y - 2x) dx$

4. Подставляем $y = x$ и решаем интеграл: $S = \int_{-1}^{0} (2x - 2x) dx$ $S = \int_{-1}^{0} 0 dx$ $S = 0$

В полярных координатах:

1. Мы знаем, что $y = x$, поэтому в полярных координатах это будет $r\sin(\theta) = r\cos(\theta)$, откуда следует, что $\tan(\theta) = 1$.

2. Теперь нам нужно найти точки пересечения в полярных координатах. Это будет при $\theta = \frac{\pi}{4}$ и $\theta = \frac{5\pi}{4}$, так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{5\pi}{4}) = 1$.

3. Теперь мы можем выразить площадь между кривыми в полярных координатах: $S = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (r^2 - r^2) d\theta$ $S = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} 0 d\theta$ $S = 0$

Итак, площадь между кривыми в обоих системах координат равна 0.