Question

Помогите пожалуйста..... Даны декартовы прямоугольные координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4 Найти: 1. угол α между ребрами А1 А2 и А1 А4 2. площадь S грании А1 А2 А3 3. объём V пирамиды 4. уравнение плоскости π грани А1 А2 А3 5. угол β между ребрами А1 А4 и гранью А1 А2 А3 6. уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3 а) А1 (2; 2 ; 10), А2 (4; -3; 15), А3 (-8; 9; 3), А4 (3; -2; 2) ???

Answer 1

Найти:

длину ребра А1А2;угол между ребрами А1А2 и А1А4;площадь грани А1А2А3;уравнение плоскости А1А2А3.объём пирамиды А1А2А3А4.

2.10. А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3).
Решение:


 

 

1. Находим длину ребра А1А2

Длина ребра А1А2  равна расстоянию между точками А1 и А2или модулю вектора . Расстояние между точкамиА1(x1;y1;z1)  и            А2 (x2;y2;z2) вычисляется по формуле:

подставим в эту формулу координаты точек и получим:
 единиц
2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 обозначим и вычисляем по формуле:
;
где  = ; = ; 
находим координаты векторов, для этого вычитаем из координат конца координаты начала :


подставляем координаты векторов в формулу и считаем cos?:
;
 (градусов).
3. Площадь грани (треугольника) А1А2А3  находим используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

 
Сначала находим координаты векторов:

находим их произведение: 

и вычисляем площадь грани:
 кв.единиц

4. Уравнение плоскости A1A2A3 найдем как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A1; A2иA3:


подставим координаты точек A1; A2иA3 .

вычислив определитель матрицы получаем уравнение:
  сокращая уравнение на 6 получим уравнение плоскости:  
5. Объем пирамиды A1A2A3A4 равен одной шестой смешанного произведения трех векторов модуль которого числено равен объему праллелепипеда, построенного на этих векторах.
Выразим произведение трех векторов через координаты сомножителей:


 
составим из координат векторов и решим матрицу:
 куб.единицы

Ответы:

длина ребра А1А2  равна единиц.угол между ребрами А1А2 и А1А4:(градусов).площадь грани А1А2А3  кв.единицуравнение плоскости А1А2А3: объём пирамиды А1А2А3А4 равен 4 куб.единицы.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать геометрические и тригонометрические концепции. Первым шагом будет нахождение векторов и длин рёбер пирамиды, затем мы сможем вычислить углы, площадь грани, объём пирамиды и уравнение плоскости. Давайте начнем с поиска векторов и длин рёбер.

Нахождение векторов и длин рёбер

Для начала найдем векторы, соединяющие вершины пирамиды. Вектор между двумя точками \(A_1\) и \(A_2\) может быть найден как разность координат этих точек: \[ \vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 4 - 2 \\ -3 - 2 \\ 15 - 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} \] Аналогично, можно найти векторы \(\vec{A_1A_3}\), \(\vec{A_1A_4}\), \(\vec{A_2A_3}\), \(\vec{A_2A_4}\), и \(\vec{A_3A_4}\).

Длина вектора \(\vec{A_1A_2}\) вычисляется по формуле: \[ |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25 + 25} = \sqrt{54} \]

Таким образом, мы можем вычислить длины всех рёбер пирамиды.

Вычисление углов

Для нахождения углов между рёбрами пирамиды и гранями, мы можем использовать свойства скалярного произведения векторов. Угол между двумя векторами \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) может быть найден по формуле: \[ \cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \] где \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) - скалярное произведение векторов, а \(|\vec{u}|\) и \(|\vec{v}|\) - их длины.

Вычисление площади грани

Площадь грани треугольной пирамиды может быть найдена с использованием формулы Герона или метода векторного произведения.

Вычисление объёма пирамиды

Объём пирамиды может быть найден по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h \] где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Уравнение плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через три точки \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), может быть найдено с использованием их координат.

Давайте начнем с вычисления векторов, длин рёбер, углов и других параметров.