Question

Найти решение дифференциально уравнения y’’=x/e^2x

Answer 1

Ответ:

$y'' = \frac{x}{ {e}^{2x} } \\ y''= x {e}^{ - 2x}$

$y'= \int\limits \: x {e}^{ - 2x} dx$

по частям:

$U= x \: \: \: \: \: \: \: \: dU = dx \\ dV= {e}^{ - 2x} dx \: \: \:\:\:\: V= - \frac{1}{2} \int\limits {e}^{ - 2x} d( - 2x) = \\ = - \frac{1}{2} {e}^{ - 2x}$

$\int\limits \: x {e}^{ - 2x} dx = UV - \int\limits \: VdU = \\ = - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{2} \int\limits {e}^{ - 2x} dx = \\ = - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{2} \times ( - \frac{1}{2} { e }^{ -2 x} ) + C1 = \\ = - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1$

получаем:

$y' = - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1 \\ y = \int\limits( - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1)dx = \\ = - \int\limits \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} dx+ \int\limits( - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1)dx$

первый интеграл решаем по частям:

$U = - \frac{x}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: dU = - \frac{1} {2}dx \\ dV = {e}^{ - 2x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: V = - \frac{1}{2} {e}^{ - 2x}$

$= \frac{x}{4} {e}^{ - 2x} - \frac{1}{4} \int\limits {e}^ { - 2x }dx = \\ = \frac{x}{4} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} {e}^{ - 2x} + C2$

получаем:

$y = \int\limits( - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} )dx + \int\limits( - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1)dx = \\ = \frac{x}{4} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} {e}^{ - 2x} + C1x + C2 = \\ = \frac{x}{4} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1x + C2 = \\ = \frac{1}{4 {e}^{2x} } (x + 1) + C1x + C2$

общее решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка:

y'' = x / e^(2x)

Вы можете воспользоваться методом интегрирования по частям дважды. Давайте начнем с первого шага.

1. Дифференцируйте обе стороны уравнения:

y'' = x / e^(2x)

2. Выразите y'':

y'' = (1 / e^(2x)) * x

3. Теперь интегрируйте обе стороны уравнения относительно x:

∫y'' dx = ∫(1 / e^(2x)) * x dx

4. Проведите интегрирование по частям:

∫y'' dx = -x/2 * e^(-2x) - ∫(-1/2) * (-1/2) * e^(-2x) dx

5. Упростите полученное уравнение:

∫y'' dx = -x/2 * e^(-2x) + (1/4) * ∫e^(-2x) dx

6. Проинтегрируйте последний интеграл:

∫y'' dx = -x/2 * e^(-2x) + (1/4) * (-1/2) * e^(-2x) + C

7. Упростите полученное уравнение:

∫y'' dx = -x/2 * e^(-2x) - (1/8) * e^(-2x) + C

8. Теперь выразите y' в зависимости от x:

y' = -x/2 * e^(-2x) - (1/8) * e^(-2x) + C1

где C1 - произвольная постоянная интеграции.

9. Интегрируйте y' по x:

∫y' dx = ∫(-x/2 * e^(-2x) - (1/8) * e^(-2x) + C1) dx

10. Получите выражение для y:

y = ∫(-x/2 * e^(-2x) - (1/8) * e^(-2x) + C1) dx

11. Вычислите интегралы:

y = (-1/4) * x * e^(-2x) + (1/16) * e^(-2x) + C1 * x + C2

где C1 и C2 - произвольные постоянные интеграции.

Это исходное дифференциальное уравнение y'' = x / e^(2x) имеет решение:

y = (-1/4) * x * e^(-2x) + (1/16) * e^(-2x) + C1 * x + C2