Question

Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания. Экстремумы. y=(1/x^2)+2

Answer 1

Ответ:

y = (1/x^2)+2

Найдем точки разрыва функции.

x1 = 0

Поскольку f(-x)=f(x), то функция является четной.

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

или

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

1 ≠ 0

Для данного уравнения корней нет.

(-∞ ;0) (0; +∞)

f'(x) > 0 f'(x) < 0

функция возрастает функция убывает

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также экстремумов функции y = (1/x^2) + 2, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по x.
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю (критические точки).
3. Используем вторую производную, чтобы определить характер экстремумов в критических точках.
4. Найдем интервалы, на которых производная положительна (функция возрастает) и интервалы, на которых производная отрицательна (функция убывает).

Шаг 1: Найдем производную функции y по x:

y'(x) = d/dx[(1/x^2) + 2]

Используя правило дифференцирования, получаем:

y'(x) = (-2/x^3)

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

-2/x^3 = 0

Это уравнение не имеет решений, так как -2 не может быть равным нулю, и x^3 не может быть равным нулю для действительных значений x.

Шаг 3: Используем вторую производную для определения характера экстремумов. Вторая производная:

y''(x) = d^2/dx^2[(-2/x^3)]

Используя правила дифференцирования, получаем:

y''(x) = (6/x^4)

Это вторая производная всегда положительна для всех действительных значений x, так как x^4 всегда положительно или равно нулю. Это означает, что у функции нет экстремумов.

Шаг 4: Найдем интервалы, на которых производная положительна и отрицательна. Производная y'(x) = (-2/x^3) всегда отрицательна для всех действительных значений x, так как x^3 всегда положительно, а -2 всегда отрицательно. Следовательно, функция y(x) убывает на всей области определения.

Таким образом, функция y = (1/x^2) + 2 убывает на всей области определения и не имеет экстремумов.