Question

Помогите исследовать функцию f(x)=x^4-4x^2 По алгоритму 1. Область определения 2. Честность/нечестность 3. Точки пересечения с осями координат А)с осью ох Б) с осью оу 4. Промежутки знакопостпоянства 5. Производная у' 6. Критические точки у'= или у' не существует 7. Промежутки монотонности А) возрастания Б) убывания 8. Экстремумы

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

1. Область определения:

Функция f(x) определена для всех действительных чисел x, так как нет никаких ограничений на x в выражении x^4-4x^2.

2. Четность/нечетность:

Функция f(x) является четной функцией, так как f(-x) = (-x)^4 - 4(-x)^2 = x^4 - 4x^2 = f(x).

3. Точки пересечения с осями координат:

A) с осью OX: для того, чтобы найти точки пересечения с осью OX, необходимо решить уравнение f(x) = 0. Имеем:

x^4 - 4x^2 = 0 x^2(x^2 - 4) = 0 x = 0, x = ±2

Таким образом, точки пересечения с осью OX имеют координаты (0,0), (2,0) и (-2,0).

B) с осью OY: при x = 0 имеем f(0) = 0, поэтому точка пересечения с осью OY имеет координаты (0,0).

4. Промежутки знакопостоянства:

Необходимо исследовать знак функции на каждом из интервалов (-∞, -2), (-2, 0), (0, 2) и (2, +∞).

Для x < -2 и x > 2 имеем f(x) > 0, так как каждый из слагаемых x^4 и -4x^2 положительный на этих интервалах.

Для -2 < x < 0 имеем f(x) < 0, так как первое слагаемое x^4 положительно, а второе слагаемое -4x^2 отрицательно на этом интервале.

Для 0 < x < 2 имеем f(x) > 0, так как первое слагаемое x^4 положительно, а второе слагаемое -4x^2 отрицательно на этом интервале.

Таким образом, промежутки знакопостоянства для функции f(x) следующие: f(x) > 0 при x < -2 и x > 2, f(x) < 0 при -2 < x < 0, и f(x) > 0 при 0 < x < 2.

5. Производная у':

Для вычисления производной f'(x) необходимо применить правило дифференцирования сложной функции:

f'(x) = 4x^3 - 8x

6. Критические точки:

Критические точки это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для функции f(x) производная f'(x) существует для всех значений x, поэтому единственной