Question

Даю 100 баллов!!! Найти интегралы ∫ 5dx/(x^2-16) ∫ sin sin (8x+1)dx ∫ (вверху 2 внизу 0) (3x^2-2x+7)dx

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1.

$\int\limits \frac{5dx}{ {x}^{2} - 16 } = 5\int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} - {4}^{2} } = \\ = 5 \times \frac{1}{2 \times 4} ln| \frac{x - 4}{x + 4} | + C= \frac{5}{8} ln| \frac{x - 4}{x + 4} | + C$

2.

$\int\limits \sin(8x + 1) dx = \frac{1}{8} \int\limits \sin(8 x+ 1) d(8x) = \\ = \frac{1}{8} \int\limits \sin(8x + 1) d(8x + 1) = \\ = - \frac{1}{8} \cos(8x + 1) + C$

3.

$\int\limits ^{2 } _ { 0}(3 {x}^{2} - 2x + 7)dx = (3 \times \frac{ {x}^{3} }{3} - \frac{2 {x}^{2} }{2} + 7x) | ^{ 2} _ {0} = \\ = ( {x}^{3} - {x}^{2} + 7x) | ^{ 2} _ {0} = \\ = 8 - 4 + 14 - 0 = 18$

Answer 2

Спасибо за ваши баллы! Давайте рассмотрим каждый из интегралов по очереди:

1. ∫ (5 dx) / (x^2 - 16):

   Сначала разложим знаменатель на множители:

   x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)

   Теперь разделим на части:

   ∫ (5 dx) / [(x - 4)(x + 4)]

   Теперь воспользуемся методом частичных дробей для разложения на простые дроби:

   (5/A) + (B/x - 4) = 1 / (x - 4) + 1 / (x + 4)

   Теперь найдем значения A и B:

   5 = A(x + 4) + B(x - 4)

   Теперь подставим значения A и B:

   A = 1 B = 1

   Теперь мы можем выразить интеграл в виде двух частей:

   ∫ (5 dx) / [(x - 4)(x + 4)] = ∫ (1 / (x - 4) + 1 / (x + 4)) dx

   Теперь проинтегрируем каждую часть по отдельности:

   ∫ (1 / (x - 4)) dx = ln |x - 4| ∫ (1 / (x + 4)) dx = ln |x + 4|

   Итак, интеграл ∫ (5 dx) / (x^2 - 16) равен:

   ln |x - 4| + ln |x + 4| + C, где C - постоянная интеграции.

2. ∫ sin(sin(8x + 1)) dx:

   Этот интеграл не имеет аналитического решения в виде элементарных функций. Он может быть вычислен численно с использованием численных методов.

3. ∫ (3x^2 - 2x + 7) dx от 0 до 2:

   Для вычисления определенного интеграла, найдем первообразную этой функции:

   ∫ (3x^2 - 2x + 7) dx = x^3 - x^2 + 7x + C

   Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от 0 до 2:

   (2^3 - 2^2 + 72) - (0^3 - 0^2 + 70) = (8 - 4 + 14) - (0 - 0 + 0) = 18

   Итак, ∫ (3x^2 - 2x + 7) dx от 0 до 2 равен 18.