Question

Найти интеграл dx/ cos^2x корень (tgx+5)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int {\frac{1}{cos^2x\sqrt{tgx+5} } } \, dx = \left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{cos^2x} =sec^2x\\u=tgx+5 \hfill \\du=sec^2xdx \hfill\end{array}\right] =\int {\frac{1}{\sqrt{u} } } \, du =2\sqrt{u} +C=\\=2\sqrt{tgx+5} +C$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, нам потребуется использовать метод подстановки. Давайте начнем с подстановки:

Пусть u = tg(x) + 5.

Тогда du/dx = sec^2(x) и dx = du/sec^2(x).

Теперь мы можем переписать интеграл:

∫(dx / (cos^2(x) * √(tg(x) + 5))) = ∫(du / (cos^2(x) * √u)).

Следующий шаг - это выразить cos^2(x) через u. Мы знаем, что sec^2(x) = 1 + tg^2(x), поэтому:

cos^2(x) = 1 / (1 + tg^2(x)) = 1 / (1 + (u - 5)^2).

Теперь мы можем записать интеграл в виде:

∫(du / (√u * (1 + (u - 5)^2))).

Теперь этот интеграл можно решить методом частичной дробей. Начнем с разложения правой части:

1 / (√u * (1 + (u - 5)^2)) = A / √u + B / (1 + (u - 5)^2).

Умножим обе стороны на общее кратное знаменателей и преобразуем:

1 = A * (1 + (u - 5)^2) + B * √u.

Теперь подставим значения u, которые позволят нам найти A и B. Давайте начнем с u = 0:

1 = A * (1 + (0 - 5)^2) + B * √0, 1 = A * 26.

Следовательно, A = 1/26.

Теперь подставим u = 5:

1 = A * (1 + (5 - 5)^2) + B * √5, 1 = A * 1 + B * √5, 1 = 1/26 + B * √5.

Теперь найдем B:

B * √5 = 1 - 1/26, B * √5 = (26/26) - (1/26), B * √5 = 25/26.

B = (25/26) * (1/√5) = 5/26√5.

Теперь у нас есть значения A и B, и мы можем записать исходный интеграл в виде двух частей:

∫(du / (√u * (1 + (u - 5)^2))) = ∫(1/26√5 * (1/√u) + 5/26√5 * (1/(1 + (u - 5)^2))) du.

Теперь мы можем вычислить эти два интеграла по отдельности. Первый интеграл:

∫(1/26√5 * (1/√u)) du = (1/26√5) * (2√u) + C₁,

где C₁ - константа интегрирования.

Второй интеграл можно вычислить с помощью арктангенса:

∫(5/26√5 * (1/(1 + (u - 5)^2))) du = (5/26√5) * arctan(u - 5) + C₂,

где C₂ - еще одна константа интегрирования.

Теперь объединим оба интеграла:

∫(du / (cos^2(x) * √(tg(x) + 5))) = (1/26√5) * (2√u) + (5/26√5) * arctan(u - 5) + C,

где C = C₁ + C₂ - общая константа интегрирования.

Теперь вернемся к переменной x, используя нашу исходную подстановку u = tg(x) + 5:

(1/26√5) * (2√(tg(x) + 5)) + (5/26√5) * arctan(tg(x)) + C.

Таким образом, интеграл

∫(dx / (cos^2(x) * √(tg(x) + 5)))

равен:

(1/13√5) * √(tg(x) + 5) + (5/26√5) * arctan(tg(x)) + C,

где C - константа интегрирования.