Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО ДАЮ 15 БАЛЛОВ !!!!!!! Два числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что (a – b) делится на 9.

Answer 1

Если числа двузначные, то

1-ое (а) пусть записано как ху,  х - десятки; у - единицы

2-ое (в) ух

10х + у - первое число

10у + х - второе число

Тогда (а-в)=10х+у - 10у - х=

9х - 9у=9(х-у).

Если один множитель делится на 9, то и все число тоже.

Answer 2

Для доказательства того, что (a - b) делится на 9, можно воспользоваться свойством чисел, которые имеют одинаковую сумму цифр и различаются только порядком следования этих цифр. Это свойство можно объяснить следующим образом:

Пусть a и b - два числа, которые получаются друг из друга перестановкой цифр. Тогда a может быть представлено как:

a = (d_n * 10^n) + (d_{n-1} * 10^{n-1}) + ... + (d_2 * 10^2) + (d_1 * 10) + d_0

где d_n, d_{n-1}, ..., d_2, d_1 и d_0 - цифры числа a.

Аналогично, число b будет выглядеть так:

b = (d_n * 10^n) + (d_{n-1} * 10^{n-1}) + ... + (d_2 * 10^2) + (d_1 * 10) + d_0

Теперь вычтем число b из числа a:

a - b = [(d_n * 10^n) + (d_{n-1} * 10^{n-1}) + ... + (d_2 * 10^2) + (d_1 * 10) + d_0] - [(d_n * 10^n) + (d_{n-1} * 10^{n-1}) + ... + (d_2 * 10^2) + (d_1 * 10) + d_0]

Как видно, все цифры d_n, d_{n-1}, ..., d_2, d_1 и d_0 взаимоуничтожаются при вычитании. Остается только:

a - b = 0

Таким образом, (a - b) всегда равно 0, что делится на 9. Таким образом, доказано, что (a - b) делится на 9, когда a и b получаются друг из друга перестановкой цифр.