Question

СРОЧНО ДАМ 50 баллов Пусть множество S натуральных чисел такого, что для любых х,у из S верно, что х<у, выполнено ху +2<106у-130х. Найдите максимальное количество элементов, которое может содержать S

Answer 1

Оценим максимальное значение, которое может принимать элемент множества $S$. Предположим, что существуют хотя бы два элемента множества, больших $106$. Пусть это числа $m,\;n$. Положим $x=m,\; y=n$, тогда $mn+2$, откуда $m$. Противоречие. Значит, существует не более одного числа, большего

Теперь становится ясно, как строить множество. Пусть максимальное число равно $106$. Тогда следующее по величине число меньше $\frac{106x-2}{x+130}$, где $x$ — текущее число (сейчас рассматривается максимальное число; оценка следует из исходного уравнения). То есть второе по величине число не превосходит $\frac{106\cdot 106-2}{106+130}\approx 47,6$. Берем 47. Далее: $\frac{106\cdot 47-2}{47+130}\approx 28,1$. Берем 28. И так далее. Получим множество $\{1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;18,\;28,\;47,\;106\}$, состоящее из 11 элементов. Это и есть наш ответ.

Answer 2

Для множества S натуральных чисел, удовлетворяющего условию х < у и ху + 2 < 106у - 130х, найдем максимальное количество элементов.

Перепишем неравенство:

ху + 2 < 106у - 130х

Добавим 130х и вычтем 2 с обеих сторон:

ху + 130х < 106у - 2

Факторизуем х:

х(у + 130) < 106у - 2

Теперь мы можем поделить обе стороны на (у + 130), при условии, что (у + 130) положительное число (так как х и у - натуральные числа):

х < (106у - 2) / (у + 130)

Теперь мы видим, что максимальное значение х будет ограничено выражением (106у - 2) / (у + 130). Максимальное значение х будет достигаться при минимальном значении у.

Поскольку х и у - натуральные числа, минимальное значение у равно 1 (наименьшее натуральное число). Подставим у = 1:

х < (106*1 - 2) / (1 + 130)

х < (104) / (131)

Теперь мы видим, что максимальное значение х будет меньше чем 104/131, и оно должно быть натуральным числом. Округлим это значение вниз до ближайшего целого числа:

х < 104/131 ≈ 0.79389313

Максимальное значение х будет равно 0, так как мы не можем использовать дробные значения для х. Поэтому множество S будет содержать максимум 0 элементов.

Ответ: Максимальное количество элементов, которое может содержать S, равно 0.