Question

Найти интеграл (с заменной переменных)∫e^(1/x^3) dx/x^4​

Answer 1

Ответ:

$\int\limits {e}^{ \frac{1}{ {x}^{3} } } \times \frac{dx}{ {x}^{4} }$

$\frac{1}{ {x}^{3} } = t \\ - 3 {x}^{ - 4} dx = dt \\ - \frac{3}{ {x}^{4} } dx = dt \\ \frac{1}{ {x}^{4} } dx = - \frac{1}{3} dt$

$- \frac{1}{3} \int\limits {e}^{t} dt = - \frac{1}{3} e ^{t} + C = - \frac{1}{3} {e}^{ \frac{1}{ {x}^{3} } } + C$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, давайте сделаем замену переменных. Положим:

u = 1/x^3

Тогда дифференциал переменной u будет:

du = (-3/x^4)dx

Исходный интеграл можно переписать в терминах переменной u:

∫e^(1/x^3) dx/x^4 = ∫e^u (-1/3) du

Теперь мы можем вычислить этот интеграл по переменной u:

∫e^u (-1/3) du = (-1/3) ∫e^u du

Интеграл от e^u просто равен e^u, поэтому:

(-1/3) ∫e^u du = (-1/3) * e^u + C

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x, используя нашу замену:

(-1/3) * e^(1/x^3) + C

Где C - это постоянная интеграции. Итак, интеграл ∫e^(1/x^3) dx/x^4 равен:

(-1/3) * e^(1/x^3) + C