Question

Найти интеграл (с заменной переменных)∫е^(cos4x) sin4xdx​

Answer 1

по идее как-то так получится

Answer 2

Для вычисления данного интеграла сделаем замену переменных. Пусть:

u = cos(4x)

Тогда дифференциал переменной u будет равен:

du = -4sin(4x)dx

Теперь можно выразить dx через du:

dx = -du / (4sin(4x))

Заменяя dx и u в исходном интеграле, получим:

∫e^(cos(4x))sin(4x)dx = ∫e^u * (-du / (4sin(4x)))

Заметьте, что sin(4x) можно заменить на 2sin(2x)cos(2x) с использованием тригонометрической идентичности.

Теперь наш интеграл выглядит так:

∫(e^u * (-du / (4 * 2sin(2x)cos(2x))))

Упростим его:

∫(e^u * (-du / (8sin(2x)cos(2x))))

Теперь можно разделить числитель и знаменатель на 8:

(1/8) ∫(e^u * (-du / (sin(2x)cos(2x))))

Используем дополнительную тригонометрическую идентичность: sin(2x)cos(2x) = (1/2)sin(4x).

Теперь наш интеграл можно переписать следующим образом:

(1/8) ∫(e^u * (-du / ((1/2)sin(4x))))

Теперь интегрирование становится более простым:

(1/8) ∫(2e^u / sin(4x))du

Теперь мы можем проинтегрировать по u:

(1/8) * (-2e^u / 4) + C = -(1/16)e^u + C

Теперь вернемся к исходной переменной u:

-(1/16)e^(cos(4x)) + C

Итак, интеграл ∫e^(cos(4x))sin(4x)dx равен:

-(1/16)e^(cos(4x)) + C, где C - постоянная интегрирования.