Question

Найдите все значения а для каждого из которых уравнение ㏒2-х(a+2x+4)= -2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (0;2) (2-х - основание логарифма)

Answer 1

Ответ:

loqx+1(a+x-5)=loqx+1((x+1)^2)

a+x-5=(x+1)^2

a+x-5=x^2+2*x+1

x^2+x+(6-a)=0 D=1-4*(6-a)>=0 1-24+4*a>=0 4*a>=23/4

x1,2=(-1±√(1-4*(6-a))/2=(-1±√(1-24+4*a))/2=(-1±√(4*a-23))/2=-1/2±(√4*a-23)/2

Для промежутка (-1; 1)

x1=-1/2-(√4*a-23)/2=-1 4*a-23=-1 4*a=24 a=6

x2=-1/2+√(4*a-23)/2=1 4*a-23=9 4*a=32 a=8

aЄ(6; 8)

Answer 2

Для того чтобы найти значения параметра "a", при которых уравнение $\log_{2-x}(a+2x+4) = -2$ имеет хотя бы один корень в интервале (0; 2), мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Начнем с того, что логарифм с отрицательным значением внутри не определен, поэтому $2-x > 0$. Решим это неравенство:

   $2-x > 0$

   $x < 2$

   Таким образом, $x$ должно быть меньше 2.

2. Теперь рассмотрим уравнение $\log_{2-x}(a+2x+4) = -2$ и применим определение логарифма:

   $2^{-2} = a+2x+4$

   $\frac{1}{4} = a+2x$

   Теперь мы можем выразить $a$ через $x$:

   $a = \frac{1}{4} - 2x$

3. Чтобы удовлетворить условие, что корень принадлежит интервалу (0; 2), мы должны учесть, что $x$ должно быть меньше 2 и больше 0, и при этом $a$ должно быть таким, чтобы $\frac{1}{4} - 2x > 0$, чтобы было возможно взять логарифм. Таким образом, нам нужно решить следующую систему неравенств:

   $\begin{cases} 0 < x < 2 \\ \frac{1}{4} - 2x > 0 \end{cases}$

   Первое неравенство $0 < x < 2$ ограничивает $x$ в интервале (0; 2).

   Второе неравенство $\frac{1}{4} - 2x > 0$ можно решить следующим образом:

   $\frac{1}{4} > 2x$

   $\frac{1}{8} > x$

   Таким образом, второе неравенство ограничивает $x$ снизу значением $\frac{1}{8}$.

Итак, для того чтобы уравнение $\log_{2-x}(a+2x+4) = -2$ имело хотя бы один корень в интервале (0; 2), необходимо, чтобы $x$ было в интервале $\left(\frac{1}{8}, 2\right)$, и в таком случае значение $a$ будет определяться как $a = \frac{1}{4} - 2x$, где $\frac{1}{8} < x < 2$.