Question

СРОЧНО!!! Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график f(x)=(4x^2-6x)/(x+4)

Answer 1

Подробности решения на фото

Answer 2

Для исследования функции $f(x) = \frac{{4x^2 - 6x}}{{x + 4}}$ методами дифференциального исчисления, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производные функции $f(x)$:

   a) Найдем производную первого порядка (производную функции по $x$):

   $f'(x) = \frac{d}{{dx}} \left(\frac{{4x^2 - 6x}}{{x + 4}}\right)$.

   Для этого используем правила дифференцирования:

   $f'(x) = \frac{{(4x^2 - 6x)'(x + 4) - (4x^2 - 6x)(x + 4)'}}{{(x + 4)^2}}$.

   $f'(x) = \frac{{(8x - 6)(x + 4) - (4x^2 - 6x)(1)}}{{(x + 4)^2}}$.

   $f'(x) = \frac{{8x^2 + 32x - 6x - 24 - 4x^2 + 6x}}{{(x + 4)^2}}$.

   $f'(x) = \frac{{4x^2 + 26x - 24}}{{(x + 4)^2}}$.

   b) Найдем производную второго порядка (вторую производную):

   $f''(x) = \frac{d}{{dx}} \left(\frac{{4x^2 + 26x - 24}}{{(x + 4)^2}}\right)$.

   Для этого снова используем правила дифференцирования:

   $f''(x) = \frac{{(4x^2 + 26x - 24)'(x + 4)^2 - (4x^2 + 26x - 24)(2(x + 4)(x + 4)')}}{{(x + 4)^4}}$.

   $f''(x) = \frac{{(8x + 26)(x + 4)^2 - 2(4x^2 + 26x - 24)(x + 4)^2}}{{(x + 4)^4}}$.

   $f''(x) = \frac{{(8x + 26 - 8x^2 - 104x - 96)(x + 4)^2}}{{(x + 4)^4}}$.

   $f''(x) = \frac{{(-8x^2 - 78x - 70)(x + 4)^2}}{{(x + 4)^4}}$.

   $f''(x) = \frac{{-8x^2 - 78x - 70}}{{(x + 4)^2}}$.

2. Теперь найдем точки экстремума и точки перегиба, а также определим интервалы возрастания и убывания функции $f(x)$.

   Для точек экстремума найдем $x$, при которых $f'(x) = 0$:

   $4x^2 + 26x - 24 = 0$.

   Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

   Дискриминант: $D = 26^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-24) = 676 + 384 = 1060$