Question

Помогите пожалуйста найти первую производную функции y=e^sin(1+4x)^10

Answer 1

$y = {e}^{ \sin {}^{10} (1 + 4x) }$

$y' = ( {e}^{ \sin {}^{10} (1 + 4x) } )' = {e}^{ \sin {}^{10} (1 + 4x) } ( \sin {}^{10} (1 + 4x) )' = {e}^{ \sin {}^{10} (1 + 4x) } (1 + 4x)' \times 10 \sin {}^{9} (1 + 4x) \times \cos(1 + 4x) = 40 \cos(1 + 4x) \sin {}^{9} (1 + 4x) {e}^{ \sin {}^{10} (1 + 4x) }$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $y = e^{\sin(1+4x)^{10}}$, используйте цепное правило (chain rule).

Давайте обозначим $u = 1+4x$, тогда $y = e^{\sin(u)^{10}}$. Теперь мы можем применить цепное правило.

1. Найдите производную $\sin(u)$ по переменной $u$. Это равно $\cos(u)$.

2. Теперь найдите производную $\sin(u)^{10}$ по переменной $u$. Для этого умножьте $\cos(u)$ на $10\sin(u)^9$, так как это степенная функция с показателем степени $10$.

3. Теперь найдите производную $e^{\sin(u)^{10}}$ по переменной $u$. Для этого умножьте результат из пункта 2 на производную $e^u$, которая равна просто $e^u$.

Итак, первая производная $y$ по переменной $x$ будет равна:

$y' = e^{\sin(u)^{10}} \cdot (10\sin(u)^9 \cdot \cos(u)) \cdot e^u$

Теперь замените $u$ обратно на $1+4x$, и вы получите первую производную исходной функции:

$y' = e^{\sin(1+4x)^{10}} \cdot (10\sin(1+4x)^9 \cdot \cos(1+4x)) \cdot e^{1+4x}$

Это выражение представляет собой первую производную функции $y$.