Question

Необходимо найти общее решение уравнения Бернулли y' - 4y/x=xy^2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Уравнение Бернулли имеет вид:

dy/dx - P(x)y = Q(x)y^n,

где P(x), Q(x) и n - заданные функции и число соответственно.

В данном уравнении у нас есть P(x) = -4/x, Q(x) = x и n = 2.

Чтобы найти общее решение, сначала преобразуем уравнение, чтобы оно имело линейный вид. Для этого воспользуемся заменой переменной:

z = y^(1-n) = y^(-1).

Тогда:

dz/dx = (-1)y^(-2)dy/dx.

Теперь подставим z и dz/dx в уравнение:

(-1)y^(-2)dy/dx - (-4/x)y = x(y^(-1))^2.

Упростим уравнение:

dy/dx + (4/x)y = -x.

Теперь это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и мы можем найти его общее решение, используя метод интегрирующего множителя. Умножим обе стороны на интегрирующий множитель, который равен экспоненте интеграла от (4/x)dx:

e^(∫(4/x)dx)dy/dx + 4e^(∫(4/x)dx)y = -xe^(∫(4/x)dx).

Интеграл ∫(4/x)dx равен 4ln|x| + C, где C - произвольная постоянная. Таким образом, интегрирующий множитель равен e^(4ln|x|+C), что можно переписать как x^4e^C.

Теперь у нас есть:

x^4e^C(dy/dx) + 4x^3e^Cy = -xe^C.

Теперь мы можем умножить обе стороны на dx и проинтегрировать:

∫(x^4e^C(dy/dx) + 4x^3e^Cy)dx = ∫(-xe^C)dx.

Это даст нам:

x^4e^Cy + ∫(4x^3e^Cy)dx = -∫(xe^C)dx.

Первый член слева можно проинтегрировать непосредственно. Для второго члена слева и правой стороны уравнения мы можем воспользоваться интегрированием по частям:

∫(4x^3e^Cy)dx = 4e^Cx^4 - ∫(16x^3e^Cx)dx,

∫(-xe^C)dx = -e^Cx^2.

Теперь подставим результаты обратно в уравнение:

x^4e^Cy + 4e^Cx^4 - ∫(16x^3e^Cx)dx = -e^Cx^2.

Теперь объединим подобные члены и упростим уравнение:

(1 + 4)e^Cx^4 = 16∫(x^3e^Cx)dx - e^Cx^2.

Это уравнение можно дальше упростить и решить численно, используя методы интегрирования. Обратите внимание, что C - произвольная постоянная, которую нужно учесть при решении конкретной задачи или предоставлении начальных условий.