Question

Sin²x-sin²2x=1Решите уравнение, пожалуйста)​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \\ \\ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

sin²x - sin²2x = 1

Для начала, мы можем воспользоваться формулой двойного угла для синуса:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Из этой формулы мы можем выразить sin²2x:

sin²2x = (2sin(x)cos(x))² = 4sin²(x)cos²(x)

Теперь мы можем подставить это выражение обратно в исходное уравнение:

sin²x - 4sin²(x)cos²(x) = 1

Теперь давайте попробуем упростить это уравнение, используя тригонометрические тождества. Давайте воспользуемся тождеством:

1 - cos²(x) = sin²(x)

Тогда у нас получится:

sin²x - 4(1 - sin²(x))cos²(x) = 1

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

sin²x - 4cos²(x) + 4sin²(x)cos²(x) = 1

Теперь объединим подобные члены:

5sin²(x)cos²(x) - 4cos²(x) - sin²x = 1

Теперь приведем все члены уравнения на одну сторону:

5sin²(x)cos²(x) - 4cos²(x) - sin²x - 1 = 0

Теперь у нас есть уравнение, в котором участвует и синус, и косинус. Давайте введем замену:

y = sin(x)cos(x)

Тогда наше уравнение примет вид:

5y² - 4(1 - y²) - (1 - y²) = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно y:

5y² - 4 + 4y² - 1 + y² = 0

10y² + y² - 5 = 0

11y² - 5 = 0

11y² = 5

y² = 5/11

y = ±√(5/11)

Теперь мы знаем значения y. Но не забывайте, что y = sin(x)cos(x). Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. sin(x)cos(x) = √(5/11)
2. sin(x)cos(x) = -√(5/11)

Давайте рассмотрим каждое из них по отдельности:

1. sin(x)cos(x) = √(5/11)

Это уравнение можно решить, например, с помощью метода половинного угла. Для этого давайте представим √(5/11) как произведение двух чисел, одно из которых - sin(x), а другое - cos(x). Мы можем написать:

sin(x)cos(x) = √(5/11) = √(5/5)√(1/11) = (√5/√5)(√1/√11) = (√5/√11)

Теперь мы видим, что √5 относится к sin(x), а √11 относится к cos(x). То есть:

sin(x) = √5 cos(x) = √11

Теперь найдем угол x:

x = arcsin(√5)

Таким образом, одним из решений данного уравнения является:

x = arcsin(√5)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

2. sin(x)cos(x) = -√(5/11)

Для этого уравнения также используем метод половинного угла и разложим -√(5/11) на два множителя:

sin(x)cos(x) = -√(5/11) = -√(5/5)√(1/11) = (-√5/√5)(√1/√11) = (-√5/√11)

Теперь мы видим, что -√5 относится к sin(x), а √11 относится к cos(x). То есть:

sin(x) = -√5 cos(x) = √11

Теперь найдем угол x:

x = arcsin(-√5)

Таким образом, вторым решением данного уравнения является:

x = arcsin(-√5)

Итак, у нас есть два решения данного уравнения:

1. x = arcsin(√5)
2. x = arcsin(-√5)