Question

Решить дифференциальное уравнение: sqrtydx+x^2dy=0

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{y} dx + {x}^{2} dy = 0 \\ {x}^{2} dy = - \sqrt{y} dx \\ \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{y} } = - \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} } \\ \frac{ {y}^{ - \frac{1}{2} } }{ - \frac{1}{2} } = - \frac{ {x}^{ - 1} }{ - 1} + C \\ - \frac{2}{ \sqrt{y} } = \frac{1}{x} +C \: \: \: | \div ( - 2) \\ \frac{1}{ \sqrt{y} } = - \frac{1}{2x} + C$

общее решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, которое выглядит как:

√(y)dx + x^2dy = 0

Давайте сначала перепишем его в стандартной форме для дифференциальных уравнений первого порядка:

dy/dx + (x^2/√(y)) = 0

Теперь давайте попробуем решить это уравнение. Для этого мы сначала выразим dy/dx:

dy/dx = -(x^2/√(y))

Теперь разделим обе стороны на x^2 и переместим все y-связанные термины на левую сторону, а x-связанные термины на правую сторону:

(1/√(y))dy = -dx/x^2

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(1/√(y))dy = ∫(-1/x^2)dx

Для левой стороны интеграл будет следующим:

2√(y) + C₁, где C₁ - постоянная интеграции.

Для правой стороны интеграл будет следующим:

∫(-1/x^2)dx = 1/x + C₂, где C₂ - другая постоянная интеграции.

Теперь объединим оба интеграла и учтем константы интеграции:

2√(y) + C₁ = 1/x + C₂

Теперь давайте выразим y:

2√(y) = 1/x + (C₂ - C₁)

√(y) = (1/x + (C₂ - C₁))/2

Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

y = ((1/x + (C₂ - C₁))/2)^2

Это окончательное решение дифференциального уравнения.