Question

990. Решите неравенства и изобразите множество их решений на коор-динатной прямой:1)|х-7|>02)|х-4|>33)|2+х|<3 Помогите пожалуйста!!​

Answer 1

Чтобы решить неравенство вида $|f(x)| < g(x)$, нужно решить такую  систему:

$\begin{cases} f(x) < g(x)\\ f(x) > -g(x)\end{cases}$

Чтобы решить неравенство вида $|f(x)| > g(x)$, нужно решить такую совокупность:

$> g(x) \\ f(x) < -g(x) \\ \end{gathered} \right.$

Отличие заключается в том, что решением системы будет пересечение решений каждого неравенства в ней, а решением совокупности будет объединение решений каждого неравенства в ней.

Это значит, что в ответ системы мы записываем общие решения данных неравенств, а в ответ совокупности записываем вообще все решения.

________________

1.

|х-7| > 0

Составим и решим совокупность неравенств.

При переносе слагаемых в другую сторону нужно менять их знак.

$> 0 \\ x-7 < 0 \\ \end{gathered} \right.$  

$> 7 \\ x < 7 \\ \end{gathered} \right.$

Ответом будет объединение этих решений.

Ответ: x ∈ (-∞; 7) ∪ (7; +∞).

2.

|х-4|>3

Составим и решим совокупность неравенств:

$> 3 \\ x-4 < -3 \\ \end{gathered} \right.$

$> 3+4 \\ x < -3+4 \\ \end{gathered} \right.$

$> 7 \\ x < 1 \\ \end{gathered} \right.$

Ответом будет объединение этих решений.

Ответ: x ∈ (-∞; 1) ∪ (7; +∞).

3.

|2+х| < 3

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2+x < 3\\ 2+x > -3\end{cases}$

$\begin{cases} x < 3-2\\ x > -3-2\end{cases}$

$\begin{cases} x < 1\\ x > -5\end{cases}$

Найдем пересечение решений (см. рис. во вложении).

Ответ: x ∈ (-5; 1).

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности и найдем их решения:

1. |x - 7| > 0 Это неравенство верно для всех значений x, так как абсолютное значение любого числа всегда больше нуля. Таким образом, решения этого неравенства - все действительные числа.

2. |x - 4| > 3 Чтобы решить это неравенство, давайте разобьем его на два случая:

a) x - 4 > 3 В этом случае, мы получаем: x - 4 > 3 x > 3 + 4 x > 7

b) x - 4 < -3 В этом случае, мы получаем: x - 4 < -3 x < -3 + 4 x < 1

Теперь у нас есть два неравенства: a) x > 7 b) x < 1

Множество решений для этого неравенства - это интервал (-бесконечность, 1) объединенный с интервалом (7, +бесконечность).

3. |2 + x| < 3 Давайте также разобьем это неравенство на два случая:

a) 2 + x < 3 В этом случае, мы получаем: 2 + x < 3 x < 3 - 2 x < 1

b) -(2 + x) < 3 В этом случае, мы умножим обе стороны на -1 и поменяем направление неравенства: 2 + x > -3 x > -3 - 2 x > -5

Теперь у нас есть два неравенства: a) x < 1 b) x > -5

Множество решений для этого неравенства - это интервал (-5, 1).

Итак, множество решений для каждого из неравенств:

1. (-бесконечность, +бесконечность)
2. (-бесконечность, 1) объединенный с (7, +бесконечность)
3. (-5, 1)

Теперь вы можете изобразить эти интервалы на координатной прямой, чтобы получить множество решений каждого неравенства.