Question

Y’+2xy/1+x^2=2x^2/1+x^2 y(0)=2/3 Срочно помогите‼️

Answer 1

Ответ:

(2xy - 3y)y' = 6x - 2xy + 1. 363.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение. У нас есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

$y' + \frac{2xy}{1+x^2} = \frac{2x^2}{1+x^2}$

Для начала, давайте определимся с заменой переменной. Введем $u = 1 + x^2$, затем выразим $x$ через $u$:

$u = 1 + x^2 \Rightarrow x^2 = u - 1$

Теперь найдем производную $x$ по $u$:

$\frac{dx}{du} = \frac{d}{du} \sqrt{u-1} = \frac{1}{2\sqrt{u-1}}\frac{d}{du}(u-1) = \frac{1}{2\sqrt{u-1}}$

Теперь заменим $x$ в исходном уравнении на $\frac{1}{2\sqrt{u-1}}$:

$y' + \frac{2\left(\frac{1}{2\sqrt{u-1}}\right)y}{u} = \frac{2(u-1)}{u}$

Упростим это уравнение:

$y' + \frac{y}{\sqrt{u-1}} = \frac{2(u-1)}{u}$

Теперь это линейное дифференциальное уравнение, которое можно решить с помощью метода интегрирующего множителя. Для этого найдем интегрирующий множитель, который равен обратному корню из $\sqrt{u-1}$:

$\mu(u) = \frac{1}{\sqrt{u-1}}$

Умножим обе стороны уравнения на $\mu(u)$:

$\frac{1}{\sqrt{u-1}}\left(y' + \frac{y}{\sqrt{u-1}}\right) = \frac{2(u-1)}{u}\frac{1}{\sqrt{u-1}}$

Это уравнение можно записать как:

$\frac{1}{\sqrt{u-1}} \frac{dy}{du} + \frac{y}{u-1} = \frac{2(u-1)}{u\sqrt{u-1}}$

Теперь левая сторона этого уравнения представляет собой производную левой части уравнения:

$\frac{d}{du}\left(\frac{y}{\sqrt{u-1}}\right) = \frac{2(u-1)}{u\sqrt{u-1}}$

Answer 3

Данное дифференциальное уравнение можно решить с использованием метода разделения переменных. Давайте начнем с записи уравнения:

y' + (2xy)/(1+x^2) = (2x^2)/(1+x^2)

Теперь мы разделим переменные, переместив все члены с y на одну сторону и все члены с x на другую сторону:

y' - (2xy)/(1+x^2) = (2x^2)/(1+x^2) - y

Теперь мы можем выразить y' и y отдельно:

y' = (2x^2)/(1+x^2) - y + (2xy)/(1+x^2)

y' = (2x^2 - y(1+x^2) + 2xy)/(1+x^2)

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение первого порядка. Давайте продолжим, решая его. Сначала выразим y' в виде производной от y:

y' = dy/dx

Теперь мы можем записать уравнение следующим образом:

dy/dx = (2x^2 - y(1+x^2) + 2xy)/(1+x^2)

Давайте решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:

dy/dx = [(2x^2 - y(1+x^2) + 2xy)/(1+x^2)]

Перемножим обе стороны на (1+x^2):

dy = (2x^2 - y(1+x^2) + 2xy)dx

Теперь разделим переменные, переместив все члены с y на левую сторону и все члены с x на правую сторону:

dy + y(1+x^2)dx = 2x^2dx - 2xydx

Теперь выразим y-связанные члены на одной стороне и x-связанные члены на другой стороне:

dy + y(1+x^2)dx + 2xydx - 2x^2dx = 0

dy + y(1+x^2)dx + 2x(ydx - xdx) = 0

dy + y(1+x^2)dx + 2xydx - 2x^2dx = 0

dy + y(1+x^2)dx + 2xydx - 2x^2dx = 0

Теперь сгруппируем члены:

dy + y(1+x^2+2x)dx - 2x^2dx = 0

dy + y(1+x^2+2x-2x^2)dx = 0

dy + y(1+x^2-2x^2+2x)dx = 0

dy + y(1-x^2+2x)dx = 0

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy + ∫(1-x^2+2x)dx = ∫0 dx

ln|y| + (x - x^3/3 + x^2) = C1

Теперь добавим константу интеграции C1 и используем начальное условие y(0) = 2/3, чтобы найти значение C1:

ln|2/3| + (0 - 0^3/3 + 0^2) = C1

ln(2/3) + 0 = C1

C1 = ln(2/3)

Теперь мы можем записать окончательное решение уравнения:

ln|y| + (x - x^3/3 + x^2) = ln(2/3)

Теперь мы можем избавиться от натурального логарифма, возведя обе стороны в экспоненту:

|y| * e^(x - x^3/3 + x^2) = 2/3

Теперь учтем абсолютное значение |y|:

y * e^(x - x^3/3 + x^2) = ±2/3

Это окончательное решение данного дифференциального уравнения с учетом начального условия y(0) = 2/3. В нем присутствует плюс-минус перед 2/3, так как абсолютное значение |y| может быть равно как положительному, так и отрицательному числу.