Question

Найти площадь фигуры ограниченной кардиоидой x=2acost-acos2t ; y=2asint-asin2t

Answer 1

Пошаговое объяснение:

площади фигуры в полярных координатах

Содержание:

Краткий обзор статьи

Полярная система координат и криволинейный сектор

Площадь криволинейного сектора - вывод формулы

Примеры вычисления площади криволинейного сектора

Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли

Площадь фигуры, границей которой является кардиоида

Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля

Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль

Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

В этом разделе мы продолжим разбирать тему вычисления площадей плоских фигур. Рекомендуем тем, кто изучает темы не по порядку, сначала обратиться к статье «Геометрический смысл определенного интеграла» и разобрать способы вычисления площади криволинейной трапеции. Нам понадобится вычислять площади фигур, которые ограничены ограничены линиями y=f(x), x=g(y) в прямоугольной системе координат. А также раздел «Свойства площади фигур», где была разобрана квадрируемость плоских фигур

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданной кардиоидой, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади криволинейной фигуры в полярных координатах. Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции r(θ), где r(θ) - радиус в полярных координатах, имеет следующий вид:

$S = \int_{α}^{β} \frac{1}{2} r^2(θ) dθ$

В данном случае, у нас есть параметрически заданные координаты x(θ) и y(θ), и мы можем найти радиус r(θ) следующим образом:

$r(θ) = \sqrt{x^2(θ) + y^2(θ)}$

Давайте выразим x(θ) и y(θ) из заданных уравнений:

$x(θ) = 2acost - acos2θ$ $y(θ) = 2asint - asin2θ$

Теперь мы можем вычислить радиус r(θ):

$r(θ) = \sqrt{(2acost - acos2θ)^2 + (2asint - asin2θ)^2}$

Теперь мы можем найти площадь S, используя интеграл от r(θ):

$S = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^2(θ) dθ$

Здесь α и β - это значения угла θ, при которых кривая ограничивает фигуру. Так как эта кардиоида ограничена от 0 до 2π (один полный оборот), то α = 0 и β = 2π.

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2π} \left(2acost - acos2θ\right)^2 + \left(2asint - asin2θ\right)^2 dθ$

Теперь остается только вычислить этот интеграл численно, чтобы найти площадь фигуры. Это может потребовать использования программного обеспечения для символьных вычислений или численных методов, таких как метод Монте-Карло или численное интегрирование.