Question

Arcsin^2 x -3pi/4 arcsin x+pi^2/4=0, как решить.​

Answer 1

Ответ:

Нулем арксинус будет при значении аргумента (синуса) ноль:

arcsin(sin(x))=x

arcsin(0)=0

sin(0)=0

значит приравниваем аргументы к нулю и находим корни

Answer 2

Это уравнение содержит арксинус (asin или arcsin), и для его решения мы можем использовать подходящие алгебраические методы. Давайте рассмотрим, как его можно решить.

У вас есть уравнение:

$\arcsin^2(x) - \frac{3\pi}{4} \arcsin(x) + \frac{\pi^2}{4} = 0$

Давайте введем замену, чтобы упростить его. Обозначим $\arcsin(x)$ как $t$:

$t^2 - \frac{3\pi}{4}t + \frac{\pi^2}{4} = 0$

Теперь это стандартное квадратное уравнение. Мы можем решить его с использованием квадратного корня:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Где в данном случае $a = 1$, $b = -\frac{3\pi}{4}$, и $c = \frac{\pi^2}{4}$. Подставим значения и решим:

$t = \frac{\frac{3\pi}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{3\pi}{4}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{\pi^2}{4}}}{2 \cdot 1}$

Теперь упростим:

$t = \frac{\frac{3\pi}{4} \pm \sqrt{\frac{9\pi^2}{16} - \frac{\pi^2}{4}}}{2}$

$t = \frac{\frac{3\pi}{4} \pm \sqrt{\frac{\pi^2}{16}}}{2}$

$t = \frac{\frac{3\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4}}{2}$

Теперь у нас есть два возможных значения $t$:

1. $t_1 = \frac{3\pi}{8}$
2. $t_2 = \frac{\pi}{8}$

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной $x$, используя определение арксинуса:

1. $\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = x$
2. $\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = x$

Таким образом, у нас есть два значения $x$:

1. $x_1 = \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)$
2. $x_2 = \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$

Это решения вашего уравнения.