Question

при делении одного натурального числа на 12 в остатке получается 2 определение другого числа на 12 в остатке получается 4 Докажите что сумма кубов этих чисел делится на 12​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть первое число - 12k+2, второе - 12m+4. Сумма их кубов имеет вид 12k*a+12m*b+72 для целых a и b, что делится на 12.

Answer 2

Давайте обозначим два натуральных числа, которые при делении на 12 дают остатки 2 и 4, соответственно, как $a$ и $b$. То есть:

$a \equiv 2 \mod 12$

$b \equiv 4 \mod 12$

Это можно записать как:

$a = 12k + 2$, где $k$ - некоторое целое число. $b = 12m + 4$, где $m$ - некоторое целое число.

Теперь мы можем найти сумму кубов этих чисел:

$a^3 = (12k + 2)^3$ $b^3 = (12m + 4)^3$

Раскроем эти выражения:

$a^3 = (12k + 2)^3 = 12^3k^3 + 2^3 = 12^3k^3 + 8$ $b^3 = (12m + 4)^3 = 12^3m^3 + 4^3 = 12^3m^3 + 64$

Теперь сложим $a^3$ и $b^3$:

$a^3 + b^3 = (12^3k^3 + 8) + (12^3m^3 + 64) = 12^3(k^3 + m^3) + 72$

Обратите внимание, что $12^3$ является множителем в каждом слагаемом, и поэтому оно делится на 12 без остатка. Также 72 делится на 12 без остатка.

Таким образом, сумма кубов этих чисел, $a^3 + b^3$, делится на 12 без остатка.