Question

Решите квадратное неравенство: 3x²-4x+1>0

Answer 1

Ответ:

x∈(-∞;1/3)⋃ (1;+∞)

Пошаговое объяснение:

===========================

3x² - 4x + 1 > 0

Приравниваем к нулю

3x² - 4x + 1 = 0

D = (-4)² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4 (2²)

x1 = (4 + 2)/(2 * 3) = 6/6 = 1

x2 = (4 - 2)/(2 * 3) = 2/6 = 1/3

Теперь рисуем координатную прямую x (картинку прикрепил), выделяем на ней две выколотые точки 1/3 и 1, подставляем из каждого промежутка числа и получаем, что x∈(-∞;1/3)⋃ (1;+∞)

===========================

Answer 2

Для решения квадратного неравенства $3x^2 - 4x + 1 > 0$, мы можем воспользоваться методом знаков. Сначала найдем корни квадратного уравнения, которое получается при замене знака ">" на "=":

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

Для этого мы можем воспользоваться формулой дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корни, если $D > 0$, и корни вычисляются по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

В данном случае:

$a = 3, b = -4, c = 1$

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Так как $D > 0$, у нас есть два различных корня:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$

$x_1 = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь, чтобы решить неравенство, мы можем использовать тестовые точки в каждом из трех интервалов, образованных корнями $x_1$ и $x_2$, а именно:

1. $x < \frac{1}{3}$
2. $\frac{1}{3} < x < 1$
3. $x > 1$

Выберем, например, $x = 0$:

$3 \cdot (0)^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1 > 0$

Таким образом, для интервала $x < \frac{1}{3}$ неравенство выполняется.

Выберем $x = \frac{1}{2}$:

$3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = -\frac{1}{4} < 0$

Таким образом, для интервала $\frac{1}{3} < x < 1$ неравенство не выполняется.

Выберем $x = 2$:

$3 \cdot (2)^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$

Таким образом, для интервала $x > 1$ неравенство выполняется.

Итак, решение квадратного неравенства $3x^2 - 4x + 1 > 0$ это:

$x \in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup (1, +\infty)$