Question

Вычислить площадь фигуры ограниченную линиями y=(x+1)^2, y^2=x+1

Answer 1

Ответ: S=1/3 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Решая уравнение (x+1)⁴=x+1, находим x1=-1 и x2=0 - нижний и верхний пределы интегрирования. Искомая площадь S=S1-S2, где S1=∫√(x+1)*dx, а S2=∫(x+1)²*dx. Находим первообразную для S1: F1(x)=∫(x+1)^(1/2)*d(x+1)=2/3*(x+1)^(3/2)+C1, где C1 - произвольная постоянная. Отсюда S1=F1(x2)-F1(x1)=2/3 кв. ед. Находим теперь первообразную для S2: F2(x)=∫(x+1)²*d(x+1)=1/3*(x+1)³+C2, где С2 - также произвольная постоянная. Отсюда S2=F2(x2)-F2(x1)=1/3 кв. ед. и тогда S=2/3-1/3=1/3.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=(x+1)^2$ и $y^2=x+1$, нужно найти точки их пересечения, которые образуют границы этой фигуры.

1. Найдем точки пересечения графиков:

   Подставим $y=(x+1)^2$ в уравнение $y^2=x+1$ и решим полученное уравнение:

   $(x+1)^4 = x + 1$

   Это уравнение может быть сложным для аналитического решения, поэтому мы можем воспользоваться численными методами или графическим способом для приблизительного нахождения корней.

2. Определение границ фигуры:

   После нахождения точек пересечения, определите интервалы $x$, на которых одна функция находится выше другой. Эти интервалы будут границами фигуры вдоль оси $x$.

3. Интегрирование:

   После определения границ фигуры, используйте интеграл для вычисления площади:

   $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx$

   где $f(x)$ - верхняя функция, $g(x)$ - нижняя функция, а $a$ и $b$ - границы фигуры по оси $x$.

Обратите внимание, что при решении уравнения и определении интервалов, вы можете столкнуться с необходимостью учитывать несколько корней и интервалов.

Эти шаги помогут вам вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными функциями.