Question

Решить задачу Коши: y'+y/2x=x²; y(1)=1​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y'+y/2x=x²; y(1)=1​

умножим обе части на √х

$\displaystyle y'\sqrt{x} +\frac{y}{2\sqrt{x} } =x^{5/2}$

$\displaystyle dx=\frac{1}{2\sqrt{x} }$

тогда получим

$\displaystyle \sqrt{x} \frac{dy}{dx} +\frac{d}{dx} (\sqrt{x} )=x^{5/2}$

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\displaystyle f\frac{dg}{x} +g\frac{df}{dx} =\frac{d}{dx} (fg)\\\\\end{array}\right]$

применив это получим

$\displaystyle \frac{d}{dx} (\sqrt{x} *y)=x^{5/2}$

теперь интегрируем обе части по х

$\displaystyle \int \frac{d}{dx} (\sqrt{x} *y)dx=\int x^{5/2}dx$

$\displaystyle y\sqrt{x} = \frac{2x^{7/2}}{7} +C$

$\displaystyle y = \frac{2x^3}{7} +\frac{C}{\sqrt{x} }$

это общий интеграл.

теперь решаем задачу Коши у(1)=1

1= 2/7 +С  ⇒  С = 5/7

и вот ответ

$\displaystyle y = \frac{2x^3}{7} +\frac{5}{7\sqrt{x} }$

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение методом разделения переменных.

Дано уравнение: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2x} = x^2$

Для начала, умножим обе стороны уравнения на $2x$, чтобы избавиться от знаменателя: $2x \frac{dy}{dx} + y = 2x^3$

Теперь это уравнение можно решить с использованием метода разделения переменных. Разделим переменные, переместив $y$ на одну сторону и все содержащее $x$ на другую сторону: $\frac{dy}{y} = 2x^2 dx$

Теперь проинтегрируем обе стороны: $\int \frac{1}{y} \, dy = \int 2x^2 \, dx$

Интегрируем левую часть: $\ln|y| = \frac{2}{3} x^3 + C_1$

где $C_1$ - константа интегрирования.

Теперь найдем константу $C_1$ используя начальное условие $y(1) = 1$: $\ln|1| = \frac{2}{3} \cdot 1^3 + C_1$ $0 = \frac{2}{3} + C_1$ $C_1 = -\frac{2}{3}$

Таким образом, общее решение уравнения: $\ln|y| = \frac{2}{3} x^3 - \frac{2}{3}$

Теперь применим начальное условие $y(1) = 1$ и найдем константу интегрирования: $\ln|1| = \frac{2}{3} \cdot 1^3 - \frac{2}{3}$ $0 = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

Таким образом, константа $C_1$ снова равна 0.

Итак, частное решение задачи Коши: $\ln|y| = \frac{2}{3} x^3 - \frac{2}{3}$

и, убирая модуль: $y = e^{\frac{2}{3} x^3 - \frac{2}{3}}$