Question

Решить дифференциальное уравнение y''=2*y*y' y(0)=1, y'(0)=1 решить задачу коши

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения методом Коши нам нужно найти функцию y(x), которая удовлетворяет уравнению y''=2yy' и начальным условиям y(0)=1, y'(0)=1.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Для начала мы можем преобразовать данное уравнение, чтобы выразить y'' в терминах только y и его производных первого порядка. Для этого мы можем воспользоваться формулой производной произведения:

y'' = (y')' = (y*y')' = y'y' + yy''

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

y'y' + yy'' = 0

или, эквивалентно,

(y')^2 = -y^2 + C

где C - произвольная постоянная.

Шаг 2: Нахождение C

Для нахождения постоянной C мы можем использовать начальные условия. Из y(0)=1 мы получаем C=1.

Шаг 3: Нахождение y(x)

Теперь мы можем найти y(x), решив полученное уравнение (y')^2 = -y^2 + 1. Для этого мы можем воспользоваться методом разделения переменных:

dy/sqrt(1-y^2) = ±dx

Интегрируя обе стороны, получаем:

arcsin(y) = ±x + D

где D - произвольная постоянная.

Таким образом,

y(x) = sin(x+D)

Теперь мы можем найти конкретное значение D, используя начальное условие y'(0)=1. Дифференцируя выражение для y(x), получаем:

y'(x) = cos(x+D)

Из y'(0)=1 следует, что

cos(D) = 1

Следовательно, D=0.

Итак, решение данной задачи Коши имеет вид:

y(x) = sin(x)

Проверим, что это решение удовлетворяет начальным условиям и исходному уравнению:

y(0) = sin(0) = 0

y'(0) = cos(0) = 1

y''(x) = -sin(x) = 2*y(x)*y'(x)

Таким образом, y(x) = sin(x) является решением данной задачи Коши.