Question

F(x)=x2-1/x+2 найти точки экстремума функции​

Answer 1

Ответ:

(x)=x2-1/x+2

0=x2-1/x+2

0=x2-1/x+2, х≠ -2

0= 2х-1/х+2

2х-1/х+2=0

2х-1=0

2х=1

х=1/2,х≠ -2

х= 1/2

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$, мы начнем с нахождения производной функции и нахождения её нулей. Экстремумы происходят там, где производная равна нулю или не существует.

1. Найдем производную $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 - 1}{x + 2}\right)$

Для нахождения производной дроби, используем правило дифференцирования квотиента (частное):

$f'(x) = \frac{(x + 2) \cdot (2x) - (x^2 - 1) \cdot 1}{(x + 2)^2}$

Упростим это выражение:

$f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 1}{(x + 2)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2}$

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю. Для этого решим уравнение:

$\frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2} = 0$

Умножим обе стороны на $(x + 2)^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2 + 4x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта или методом полного квадрата. Решение даст нам значения $x$ в точках экстремума.

3. Решим уравнение $x^2 + 4x + 1 = 0$:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = 4$, и $c = 1$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два вещественных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{12}}{2} \approx -3.73$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{12}}{2} \approx -0.27$

Теперь у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: $x_1 \approx -3.73$ и $x_2 \approx -0.27$.

4. Для определения характера точек экстремума, нам нужно провести вторую производную там, где $f'(x) = 0$ и оценить знаки $f''(x)$ в этих точках:

$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2}\right)$

Это довольно сложная производная, и её вычисление займет много шагов. После вычисления $f''(x)$, вы можете анализировать её знаки, чтобы определить характер точек экстремума (минимум или максимум).

Знак $f''(x)$ в окрестности каждой из найденных точек позволит определить, является ли эта точка минимумом или максимумом функции $f(x)$. Если $f''(x) > 0$, то это минимум, и если $$ 0 0